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23 Quantitative Aptitude (Maths) — Common Notes 🕒 Updated 2026-10-17
Common Notes SSC CGL · CHSL · Police · Bank · Railway अध्याय 23

📉 सांख्यिकी

माध्य, माध्यिका, बहुलक, परास, माध्य विचलन, विचरण, मानक विचलन, CV और सारणी-आलेख — SSC CGL Tier 2 Paper I (Statistics & Probability) तक। हर भाग में सूत्र, हल सहित उदाहरण और traps; JSO स्तर के लिए अध्याय 25: सांख्यिकी (उन्नत)।

📌 CGL में कहाँ: SSC CGL Tier 2 Paper I (Mathematical Abilities) के 8 PYQ पेपर (2022–2025) में Statistics के प्रश्न लगभग 9.6% रहे हैं। यहाँ के सभी प्रश्न SF Prep द्वारा तैयार अभ्यास प्रश्न हैं (PYQ नहीं)। JSO (Paper II) स्तर: अध्याय 25 — JSO के PYQs अभी SF Prep पर उपलब्ध नहीं हैं।

📌 1. माध्य (Arithmetic Mean)

माध्य = सभी मानों का योग ÷ मानों की संख्या। यह हर मान पर निर्भर करता है, इसलिए एक बहुत बड़ा या बहुत छोटा मान (outlier) इसे खींच लेता है।

📘 सूत्र:
  • व्यक्तिगत: x̄ = Σx/n; बारंबारता: x̄ = Σfx/Σf; भारित: x̄ = Σwx/Σw
  • संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂)
  • हर मान को a से गुणा कर b जोड़ें → नया माध्य = a·x̄ + b
  • पहली n प्राकृत संख्याओं का माध्य = (n + 1)/2; पहली n विषम संख्याओं का = n; पहली n सम संख्याओं का = n + 1
  • गलत पढ़ा गया मान: सही माध्य = पुराना माध्य + (सही − गलत)/n
✏️ हल सहित उदाहरण: 10 संख्याओं का माध्य 25 है। बाद में पता चला कि एक संख्या 40 को 20 पढ़ लिया गया था। सही माध्य?
→ गलत योग = 250; सही योग = 250 − 20 + 40 = 270
→ सही माध्य = 270/10 = 27 (शॉर्टकट: 25 + 20/10)
✏️ हल सहित उदाहरण: कक्षा A के 30 छात्रों का औसत 60 और कक्षा B के 20 छात्रों का औसत 70 है। संयुक्त औसत?
→ (30 × 60 + 20 × 70)/50 = (1800 + 1400)/50
→ = 3200/50 = 64 (बड़े समूह की ओर झुका, 65 नहीं)
✏️ हल सहित उदाहरण: x: 2, 4, 6, 8 और f: 3, 5, 8, 4। माध्य?
→ Σf = 20; Σfx = 6 + 20 + 48 + 32 = 106
→ x̄ = 106/20 = 5.3
⚠️ Exam Traps:
  • संयुक्त माध्य में दोनों माध्यों का सीधा औसत न लें — संख्या (n) से भार दें।
  • माध्य से विचलनों का योग Σ(x − x̄) हमेशा 0 होता है।

📌 2. माध्यिका और बहुलक

📘 सूत्र:
  • माध्यिका: आरोही क्रम में रखें; n विषम → (n + 1)/2 वाँ पद; n सम → n/2 वें और (n/2 + 1) वें पदों का औसत
  • असतत बारंबारता: संचयी बारंबारता (cf) बनाएँ और (N + 1)/2 वाँ पद खोजें
  • बहुलक = सबसे अधिक बार आने वाला मान; दो हों तो द्वि-बहुलक (bimodal); सब बराबर बार आएँ तो कोई बहुलक नहीं
  • अनुभवजन्य संबंध: बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य
  • माध्यिका पर बहुत बड़े/छोटे मानों का असर नहीं पड़ता — आय जैसे विषम आँकड़ों के लिए उपयुक्त।
  • बहुलक गुणात्मक आँकड़ों (जैसे सबसे लोकप्रिय रंग, जूते का साइज़) के लिए भी काम आता है।
✏️ हल सहित उदाहरण: 12, 7, 15, 9, 20, 11 की माध्यिका?
→ क्रम: 7, 9, 11, 12, 15, 20 (n = 6, सम)
→ माध्यिका = (11 + 12)/2 = 11.5
✏️ हल सहित उदाहरण: x: 10, 20, 30, 40 और f: 4, 6, 7, 3। माध्यिका?
→ N = 20; cf = 4, 10, 17, 20; (N + 1)/2 = 10.5 वाँ पद
→ 10वाँ पद = 20, 11वाँ पद = 30 → माध्यिका = 25
✏️ हल सहित उदाहरण: किसी बंटन का माध्य 40 और माध्यिका 38 है। बहुलक?
→ बहुलक = 3 × 38 − 2 × 40 = 114 − 80 = 34
⚠️ Exam Traps:
  • माध्यिका निकालने से पहले आँकड़ों को क्रम में रखना न भूलें।

📌 3. वर्गीकृत आँकड़े (Grouped Data)

📘 सूत्र:
  • वर्ग-चिह्न x = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2; माध्य = Σfx/Σf
  • माध्यिका = L + [(N/2 − cf)/f] × h (cf = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता)
  • बहुलक = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h (f₁ = सबसे बड़ी बारंबारता)
✏️ हल सहित उदाहरण: वर्ग 0–20, 20–40, 40–60, 60–80; बारंबारता 6, 10, 14, 10। माध्य, माध्यिका, बहुलक?
→ x = 10, 30, 50, 70; Σfx = 60 + 300 + 700 + 700 = 1760; N = 40 → माध्य = 44
→ cf = 6, 16, 30, 40; N/2 = 20 → वर्ग 40–60: माध्यिका = 40 + (20 − 16)/14 × 20 ≈ 45.71
→ बहुलक वर्ग 40–60 (f₁ = 14, f₀ = 10, f₂ = 10): 40 + (4/8) × 20 = 50
आगे: पद-विचलन विधि, चतुर्थक-दशमक-शतमक और JSO स्तर के प्रश्न — सांख्यिकी (उन्नत) — इकाई 2।

📌 4. अपकिरण: परास, माध्य विचलन, विचरण, मानक विचलन

📘 सूत्र:
  • परास = अधिकतम − न्यूनतम; परास गुणांक = (L − S)/(L + S)
  • माध्य विचलन MD = Σ|x − A|/n (A = माध्य या माध्यिका)
  • विचरण σ² = Σ(x − x̄)²/n = Σx²/n − x̄²; मानक विचलन σ = √विचरण
  • विचरण गुणांक CV = σ/x̄ × 100% — कम CV = अधिक स्थिर
  • पहली n प्राकृत संख्याओं का विचरण = (n² − 1)/12; सार्व अंतर d वाली AP का SD = d√[(n² − 1)/12]
✏️ हल सहित उदाहरण: 6, 8, 10, 12, 14 का मानक विचलन?
→ माध्य = 10; (x − 10)² = 16, 4, 0, 4, 16 → योग 40
→ σ² = 40/5 = 8 → σ = √8 = 2√2 ≈ 2.83
✏️ हल सहित उदाहरण: n = 5, Σx = 30, Σx² = 220। विचरण?
→ x̄ = 30/5 = 6
→ σ² = 220/5 − 6² = 44 − 36 = 8
✏️ हल सहित उदाहरण: किसी आँकड़े का SD 3 है। हर मान को 2 से गुणा कर 5 घटाया गया। नया SD और विचरण?
→ घटाने/जोड़ने से SD नहीं बदलता; गुणा करने से 2 गुना → SD = 6
→ विचरण = 6² = 36 (यानी 2² × 9)
⚠️ Exam Traps:
  • विचरण की इकाई आँकड़ों की इकाई का वर्ग होती है (cm²); SD की इकाई आँकड़ों वाली (cm)।
  • सभी मान बराबर हों तो SD = 0; SD कभी ऋणात्मक नहीं होता।

📌 5. सारणी और आलेख (Tables & Graphs)

आलेखकबपहचान
दंड आरेख (Bar)अलग-अलग श्रेणियाँ (ब्रांड, वर्ष)बराबर चौड़ाई, दंडों के बीच खाली जगह
आयतचित्र (Histogram)सतत वर्ग-अंतरालदंड सटे हुए; क्षेत्रफल ∝ बारंबारता
बारंबारता बहुभुजदो बंटनों की तुलनाआयतों के ऊपरी मध्य-बिंदु जोड़कर; सिरों पर अक्ष तक बंद
तोरण (Ogive)माध्यिका/चतुर्थक का ग्राफ से अनुमान"से कम" और "से अधिक" वक्र का प्रतिच्छेद = माध्यिका
पाई चार्टपूरे का हिस्सा (बजट)कोण = मान/कुल × 360°
✏️ हल सहित उदाहरण: पाई चार्ट में किसी मद का कोण 72° है और कुल खर्च ₹50,000। उस मद का प्रतिशत और राशि?
→ प्रतिशत = 72/360 × 100 = 20%
→ राशि = 20% × 50,000 = ₹10,000
✏️ हल सहित उदाहरण: आयतचित्र में अन्य वर्गों की चौड़ाई 10 है पर एक वर्ग 10–30 (चौड़ाई 20) की बारंबारता 16 है। उस आयत की ऊँचाई?
→ असमान चौड़ाई → ऊँचाई = बारंबारता × (मानक चौड़ाई/वर्ग चौड़ाई)
→ = 16 × 10/20 = 8
⚠️ Exam Traps:
  • असमान वर्ग-चौड़ाई में बारंबारता को सीधे ऊँचाई मान लेना सबसे आम गलती है।

📌 6. Practice MCQs

📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. पहली 15 विषम प्राकृत संख्याओं का माध्य है: Practice
(A) 16
(B) 7.5
(C) 15
(D) 225
सही उत्तर: (C)
हल: पहली n विषम संख्याओं का योग n² = 225; माध्य = 225/15 = 15।
Q2. 20 संख्याओं का माध्य 30 है। एक संख्या 45 को गलती से 25 पढ़ा गया था। सही माध्य है: Practice
(A) 31
(B) 29
(C) 30.5
(D) 32
सही उत्तर: (A)
हल: सही योग = 600 − 25 + 45 = 620; सही माध्य = 620/20 = 31।
Q3. 40 लड़कों का औसत अंक 50 और 60 लड़कियों का औसत 55 है। पूरी कक्षा का औसत है: Practice
(A) 52.5
(B) 52
(C) 54
(D) 53
सही उत्तर: (D)
हल: (40 × 50 + 60 × 55)/100 = (2000 + 3300)/100 = 53।
Q4. कुछ आँकड़ों का माध्य 18 है। हर मान को 2 से गुणा कर 6 घटाया जाए तो नया माध्य होगा: Practice
(A) 36
(B) 30
(C) 12
(D) 24
सही उत्तर: (B)
हल: नया माध्य = 2 × 18 − 6 = 30।
Q5. x: 1, 2, 3, 4 और f: 4, 6, 7, 3 का माध्य है: Practice
(A) 2.5
(B) 2.45
(C) 2.4
(D) 2.65
सही उत्तर: (B)
हल: Σf = 20; Σfx = 4 + 12 + 21 + 12 = 49; माध्य = 49/20 = 2.45।
Q6. x: 10, 20, 30 की बारंबारताएँ 3, k, 2 हैं और माध्य 19 है। k का मान है: Practice
(A) 4
(B) 6
(C) 3
(D) 5
सही उत्तर: (D)
हल: Σfx = 30 + 20k + 60 = 90 + 20k; Σf = 5 + k → 90 + 20k = 19(5 + k) = 95 + 19k → k = 5।
Q7. 15, 6, 22, 9, 18, 11, 30, 14 की माध्यिका है: Practice
(A) 14.5
(B) 14
(C) 15
(D) 16.5
सही उत्तर: (A)
हल: क्रम: 6, 9, 11, 14, 15, 18, 22, 30; n = 8 → चौथे और पाँचवें पद का औसत = (14 + 15)/2 = 14.5।
Q8. x: 5, 10, 15, 20 की बारंबारताएँ 3, 8, 6, 4 हैं। माध्यिका है: Practice
(A) 15
(B) 12.5
(C) 10
(D) 11
सही उत्तर: (C)
हल: N = 21 → (N + 1)/2 = 11वाँ पद; cf = 3, 11, 17, 21 → 11वाँ पद x = 10 वाले समूह में है।
Q9. आँकड़े 3, 5, 5, 7, 8, 8, 9 का बहुलक है: Practice
(A) 5 और 8 (द्वि-बहुलक)
(B) 5
(C) 8
(D) 6.5
सही उत्तर: (A)
हल: 5 और 8 दोनों दो-दो बार आते हैं, बाकी एक-एक बार — इसलिए दोनों बहुलक हैं।
Q10. किसी बंटन का बहुलक 24 और माध्य 30 है। अनुभवजन्य संबंध से माध्यिका है: Practice
(A) 27
(B) 26
(C) 32
(D) 28
सही उत्तर: (D)
हल: बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य → 24 = 3M − 60 → M = 84/3 = 28।
Q11. वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 की बारंबारताएँ 2, 5, 3 हैं। माध्य है: Practice
(A) 15
(B) 17
(C) 16
(D) 18
सही उत्तर: (C)
हल: वर्ग-चिह्न 5, 15, 25; Σfx = 10 + 75 + 75 = 160; N = 10 → माध्य = 16।
Q12. वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 की बारंबारताएँ 5, 10, 15, 10 हैं। माध्यिका है: Practice
(A) 25
(B) 23.33
(C) 22.5
(D) 26.67
सही उत्तर: (B)
हल: N/2 = 20; cf = 5, 15, 30 → माध्यिका वर्ग 20–30: 20 + (20 − 15)/15 × 10 = 20 + 3.33 = 23.33।
Q13. वर्ग 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 की बारंबारताएँ 4, 12, 8, 6 हैं। बहुलक है: Practice
(A) 25
(B) 28
(C) 24
(D) 26.67
सही उत्तर: (D)
हल: बहुलक वर्ग 20–30: f₁ = 12, f₀ = 4, f₂ = 8 → 20 + (12 − 4)/(24 − 4 − 8) × 10 = 20 + 8/12 × 10 = 26.67।
Q14. आँकड़े 12, 30, 18, 45, 25 का परास गुणांक है: Practice
(A) 11/15
(B) 11/19
(C) 19/11
(D) 4/15
सही उत्तर: (B)
हल: L = 45, S = 12 → (45 − 12)/(45 + 12) = 33/57 = 11/19।
Q15. 2, 4, 6, 8, 10 का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन है: Practice
(A) 2.4
(B) 2
(C) 3
(D) 2.8
सही उत्तर: (A)
हल: माध्य = 6; |x − 6| = 4, 2, 0, 2, 4 → योग 12; MD = 12/5 = 2.4।
Q16. 10 प्रेक्षणों के लिए Σx = 50 और Σx² = 290 है। मानक विचलन है: Practice
(A) 4
(B) 5
(C) 2
(D) 3
सही उत्तर: (C)
हल: x̄ = 5; σ² = 290/10 − 5² = 29 − 25 = 4 → σ = 2।
Q17. समांतर श्रेणी 3, 6, 9, 12, 15 का मानक विचलन है: Practice
(A) √2
(B) 18
(C) 3√2
(D) 9
सही उत्तर: (C)
हल: 1, 2, 3, 4, 5 का SD = √[(25 − 1)/12] = √2; हर पद 3 गुना है → SD = 3√2।
Q18. किसी श्रेणी का माध्य 25 और मानक विचलन 5 है। विचरण गुणांक (CV) है: Practice
(A) 5%
(B) 20%
(C) 25%
(D) 125%
सही उत्तर: (B)
हल: CV = σ/x̄ × 100 = 5/25 × 100 = 20%।
Q19. खिलाड़ी A: औसत 60, SD 12; खिलाड़ी B: औसत 45, SD 6। अधिक स्थिर कौन है? Practice
(A) B (CV ≈ 13.3%)
(B) A (CV = 20%)
(C) दोनों बराबर
(D) तय नहीं किया जा सकता
सही उत्तर: (A)
हल: CV(A) = 12/60 × 100 = 20%; CV(B) = 6/45 × 100 ≈ 13.3% → कम CV वाला B अधिक स्थिर।
Q20. कुछ आँकड़ों का विचरण 9 है। हर मान को 3 से गुणा कर 4 जोड़ा जाए तो नया विचरण होगा: Practice
(A) 31
(B) 27
(C) 85
(D) 81
सही उत्तर: (D)
हल: Var(3x + 4) = 3² × 9 = 81; जोड़ा गया 4 विचरण नहीं बदलता।
Q21. 9 प्रेक्षणों का माध्य 20 है। एक नया प्रेक्षण 30 जोड़ा गया। नया माध्य है: Practice
(A) 25
(B) 21
(C) 20.5
(D) 22
सही उत्तर: (B)
हल: नया योग = 180 + 30 = 210; प्रेक्षण 10 → माध्य = 21।
Q22. पाई चार्ट में किसी मद का केंद्रीय कोण 54° है। कुल में उसका प्रतिशत हिस्सा है: Practice
(A) 54%
(B) 18%
(C) 15%
(D) 12%
सही उत्तर: (C)
हल: प्रतिशत = 54/360 × 100 = 15%।
Q23. आयतचित्र (histogram) में किसी वर्ग की बारंबारता आयत के किसके अनुपात में होती है? Practice
(A) केवल ऊँचाई
(B) चौड़ाई
(C) परिमाप
(D) क्षेत्रफल
सही उत्तर: (D)
हल: आयतचित्र में क्षेत्रफल ∝ बारंबारता; वर्ग-चौड़ाई बराबर हो तभी ऊँचाई भी बारंबारता के अनुपात में होती है।
Q24. "से कम" और "से अधिक" तोरण (ogive) जिस बिंदु पर काटते हैं, उसका x-निर्देशांक होता है: Practice
(A) माध्यिका
(B) माध्य
(C) बहुलक
(D) परास
सही उत्तर: (A)
हल: दोनों तोरण N/2 पर मिलते हैं; उस बिंदु का x-मान माध्यिका है।
Q25. चार ब्रांडों की बिक्री की तुलना के लिए सबसे उपयुक्त आलेख है: Practice
(A) आयतचित्र
(B) दंड आरेख (bar diagram)
(C) तोरण
(D) बारंबारता बहुभुज
सही उत्तर: (B)
हल: ब्रांड अलग-अलग श्रेणियाँ हैं (सतत वर्ग नहीं), इसलिए दंड आरेख; आयतचित्र व तोरण सतत आँकड़ों के लिए हैं।

📝 Practice questions

Quantitative Aptitude — Practice MCQs (Bilingual) Ch 23: Statistics
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