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24 Quantitative Aptitude (Maths) — Common Notes 🕒 Updated 2026-10-17
Common Notes SSC CGL · CHSL · Police · Bank · Railway अध्याय 24

🎲 प्रायिकता

प्रायिकता की परिभाषा, सिक्के, पासे, ताश, गेंदें, योग-गुणन नियम, स्वतंत्र घटनाएँ, "कम से कम एक", सप्रतिबंध प्रायिकता और nCr वाले प्रश्न — SSC CGL Tier 2 Paper I स्तर तक; हर भाग में हल सहित उदाहरण। बेज़ प्रमेय व बंटन: अध्याय 25 — इकाई 6–7।

📌 CGL में कहाँ: SSC CGL Tier 2 Paper I के syllabus में "सरल प्रायिकता" है और Paper II (JSO) में पूरी इकाई। यहाँ के सभी प्रश्न SF Prep द्वारा तैयार अभ्यास प्रश्न हैं (PYQ नहीं); JSO (Paper II) के PYQs अभी SF Prep पर उपलब्ध नहीं हैं।

📌 1. मूल अवधारणाएँ और नियम

  • प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय = प्रतिदर्श समष्टि (S); उसका कोई भाग = घटना (E)।
  • असंभव घटना: P = 0; निश्चित घटना: P = 1; हर घटना के लिए 0 ≤ P(E) ≤ 1।
  • परस्पर अपवर्जी: एक साथ नहीं हो सकतीं (एक पासे पर 2 और 5)। स्वतंत्र: एक का परिणाम दूसरे को प्रभावित नहीं करता (दो अलग सिक्के)।
📘 सूत्र:
  • P(E) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल समसंभाव्य परिणाम
  • P(E नहीं) = 1 − P(E)
  • पक्ष में संयोगानुपात a : b → P(E) = a/(a + b); विपक्ष में a : b → P(E) = b/(a + b)
  • ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!]
✏️ हल सहित उदाहरण: किसी घटना के पक्ष में संयोगानुपात 3 : 5 है। उसकी प्रायिकता?
→ 3 भाग अनुकूल, 5 भाग प्रतिकूल → कुल 3 + 5 = 8 भाग
→ P = 3/8; घटना न होने की प्रायिकता = 5/8

📌 2. सिक्के और पासे

📘 सूत्र:
  • n सिक्के → 2ⁿ परिणाम; ठीक r चित → ⁿCᵣ/2ⁿ; कम से कम एक चित → 1 − 1/2ⁿ
  • n पासे → 6ⁿ परिणाम; दो पासों पर युग्म (doublet) 6
दो पासों का योग23456789101112
तरीके (36 में से)12345654321
✏️ हल सहित उदाहरण: 3 सिक्के उछाले। ठीक 2 चित की प्रायिकता?
→ कुल परिणाम 2³ = 8: HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT
→ ठीक 2 चित: HHT, HTH, THH = 3 (या ³C₂ = 3)
→ P = 3/8
✏️ हल सहित उदाहरण: दो पासे फेंके। योग 8 आने की प्रायिकता?
→ (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) = 5 तरीके
→ P = 5/36
✏️ हल सहित उदाहरण: दो पासे फेंके। अंकों का गुणनफल सम होने की प्रायिकता?
→ गुणनफल विषम तभी जब दोनों विषम: 3 × 3 = 9 तरीके
→ P(सम) = 1 − 9/36 = 3/4
⚠️ Exam Traps:
  • "कम से कम एक" वाले प्रश्नों में 1 − P(एक भी नहीं) लगाएँ — सीधे गिनने में गलती होती है।
  • दो पासों में (2, 6) और (6, 2) अलग परिणाम हैं।

📌 3. ताश के पत्ते और गेंदें

ताश (52 पत्ते)संख्या
4 रंग (suits): हुकुम ♠, चिड़ी ♣ (काले); पान ♥, ईंट ♦ (लाल)हर रंग में 13; लाल 26, काले 26
फेस कार्ड (बादशाह, बेगम, गुलाम)12
ऑनर कार्ड (इक्का, बादशाह, बेगम, गुलाम)16
इक्के / बादशाह / बेगम / गुलामहर एक 4
📘 सूत्र:
  • r वस्तुएँ एक साथ चुनें: P = (अनुकूल चयन)/(ᴺCᵣ)
  • एक के बाद एक बिना वापसी: P = P(पहली) × P(दूसरी | पहली)
  • "या" वाले पत्तों में दोहराव घटाएँ: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(दोनों)
✏️ हल सहित उदाहरण: एक पत्ता निकाला। वह फेस कार्ड या पान होने की प्रायिकता?
→ फेस कार्ड 12, पान 13, दोनों (पान के J, Q, K) 3
→ P = (12 + 13 − 3)/52 = 22/52 = 11/26
✏️ हल सहित उदाहरण: थैले में 5 लाल, 3 नीली गेंदें। दो गेंदें निकालीं। एक लाल और एक नीली होने की प्रायिकता?
→ कुल चयन ⁸C₂ = 28; अनुकूल ⁵C₁ × ³C₁ = 15
→ P = 15/28
✏️ हल सहित उदाहरण: 4 लाल और 5 हरी गेंदों में से 3 गेंदें निकालीं। तीनों हरी होने की प्रायिकता?
→ ⁵C₃ = 10; ⁹C₃ = 84
→ P = 10/84 = 5/42

📌 4. योग व गुणन नियम, स्वतंत्र घटनाएँ

📘 सूत्र:
  • P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B); परस्पर अपवर्जी हों तो P(A) + P(B)
  • स्वतंत्र: P(A और B) = P(A) × P(B)
  • कम से कम एक = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…; ठीक एक (दो घटनाएँ) = p₁(1 − p₂) + (1 − p₁)p₂
  • सप्रतिबंध: P(A | B) = P(A और B)/P(B) — B के होने की जानकारी से प्रतिदर्श समष्टि छोटी हो जाती है
✏️ हल सहित उदाहरण: A के निशाना लगाने की प्रायिकता 1/3 और B की 1/4 है। दोनों एक-एक बार चलाते हैं। निशाना लगने की प्रायिकता?
→ दोनों चूकें: (2/3)(3/4) = 1/2
→ P(निशाना लगे) = 1 − 1/2 = 1/2
✏️ हल सहित उदाहरण: उसी स्थिति में ठीक एक के निशाना लगाने की प्रायिकता?
→ A लगे, B चूके: (1/3)(3/4) = 3/12; A चूके, B लगे: (2/3)(1/4) = 2/12
→ P = 3/12 + 2/12 = 5/12
✏️ हल सहित उदाहरण: 1 से 30 तक की कोई संख्या चुनी। उसके 3 या 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता?
→ 3 के गुणज 10, 5 के गुणज 6, दोनों (15 के गुणज) 2
→ अनुकूल = 10 + 6 − 2 = 14 → P = 14/30 = 7/15
⚠️ Exam Traps:
  • परस्पर अपवर्जी घटनाओं में P(A) + P(B) जोड़ें; स्वतंत्र घटनाओं में P(A) × P(B) गुणा करें — दोनों को मिलाएँ नहीं।

📌 5. विविध: संख्याएँ, अक्षर, कैलेंडर, सप्रतिबंध

  • अक्षर: किसी शब्द से यादृच्छिक अक्षर → उस अक्षर की आवृत्ति ÷ कुल अक्षर (दोहराए अक्षर अलग गिनें)।
  • कैलेंडर: साधारण वर्ष = 52 सप्ताह + 1 दिन; लीप वर्ष = 52 सप्ताह + 2 दिन (7 संभव जोड़े)।
  • सप्रतिबंध प्रश्नों में दी गई जानकारी के अनुसार नई (छोटी) प्रतिदर्श समष्टि बनाएँ।
✏️ हल सहित उदाहरण: लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता?
→ 366 = 52 सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन; जोड़े: (रवि, सोम), (सोम, मंगल), …, (शनि, रवि) = 7
→ रविवार वाले जोड़े 2 → P = 2/7
✏️ हल सहित उदाहरण: शब्द EXAMINATION से एक अक्षर यादृच्छिक चुना। उसके स्वर होने की प्रायिकता?
→ कुल 11 अक्षर; स्वर E, A, I, A, I, O = 6
→ P = 6/11
✏️ हल सहित उदाहरण: एक पासा फेंका और बताया गया कि सम संख्या आई है। उसके 6 होने की प्रायिकता?
→ नई प्रतिदर्श समष्टि {2, 4, 6} — 3 परिणाम
→ P = 1/3 (बिना जानकारी के यह 1/6 होता)
आगे: बेज़ प्रमेय, यादृच्छिक चर, द्विपद-प्वासों-सामान्य बंटन — सांख्यिकी (उन्नत) — इकाई 6 और इकाई 7।

📌 6. Practice MCQs

📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. 4 सिक्के उछाले गए। कम से कम 3 चित आने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/4
(B) 3/8
(C) 5/16
(D) 11/16
सही उत्तर: (C)
हल: ठीक 3 चित: ⁴C₃ = 4; ठीक 4 चित: 1 → अनुकूल 5; कुल 2⁴ = 16 → P = 5/16।
Q2. दो पासे फेंके गए। अंकों का योग अधिकतम 4 होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/6
(B) 1/9
(C) 5/36
(D) 1/4
सही उत्तर: (A)
हल: योग 2: 1, योग 3: 2, योग 4: 3 तरीके → 6 तरीके; P = 6/36 = 1/6।
Q3. दो पासे फेंके गए। युग्म (doublet) या योग 10 आने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/4
(B) 1/6
(C) 5/18
(D) 2/9
सही उत्तर: (D)
हल: युग्म 6; योग 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) = 3; (5, 5) दोनों में → 6 + 3 − 1 = 8; P = 8/36 = 2/9।
Q4. दो पासे फेंके गए। दोनों अंकों का अंतर ठीक 1 होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/6
(B) 5/18
(C) 1/3
(D) 2/9
सही उत्तर: (B)
हल: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) और इनके उल्टे → 10 तरीके; P = 10/36 = 5/18।
Q5. 52 पत्तों में से एक पत्ता निकाला। वह लाल बादशाह या काली बेगम होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/26
(B) 1/13
(C) 2/13
(D) 1/52
सही उत्तर: (B)
हल: लाल बादशाह 2 + काली बेगम 2 = 4 (कोई दोहराव नहीं); P = 4/52 = 1/13।
Q6. 52 पत्तों में से एक पत्ता निकाला। वह न पान हो, न बादशाह — इसकी प्रायिकता है: Practice
(A) 4/13
(B) 3/4
(C) 10/13
(D) 9/13
सही उत्तर: (D)
हल: पान या बादशाह = 13 + 4 − 1 = 16; बाकी 52 − 16 = 36; P = 36/52 = 9/13।
Q7. 52 पत्तों में से बिना वापसी के दो पत्ते निकाले। एक लाल और एक काला होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 26/51
(B) 1/2
(C) 25/51
(D) 13/51
सही उत्तर: (A)
हल: अनुकूल = 26 × 26 = 676; कुल ⁵²C₂ = 1326; P = 676/1326 = 26/51।
Q8. थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें निकालीं। कम से कम एक लाल होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/3
(B) 4/15
(C) 2/3
(D) 8/15
सही उत्तर: (C)
हल: P(दोनों नीली) = ⁶C₂/¹⁰C₂ = 15/45 = 1/3; P(कम से कम एक लाल) = 1 − 1/3 = 2/3।
Q9. थैले में 3 लाल, 4 सफेद और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद काली न होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 7/12
(B) 5/12
(C) 1/3
(D) 1/4
सही उत्तर: (A)
हल: काली नहीं = 3 + 4 = 7; कुल 12; P = 7/12।
Q10. 5 लाल और 5 नीली गेंदों में से एक के बाद एक (बिना वापसी) दो गेंदें निकालीं। पहली लाल और दूसरी नीली होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/4
(B) 5/9
(C) 1/2
(D) 5/18
सही उत्तर: (D)
हल: P = 5/10 × 5/9 = 25/90 = 5/18।
Q11. किसी घटना के विपक्ष में संयोगानुपात 7 : 4 है। घटना होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 7/11
(B) 4/7
(C) 4/11
(D) 3/11
सही उत्तर: (C)
हल: विपक्ष 7 : 4 → प्रतिकूल 7 भाग, अनुकूल 4 भाग; P = 4/(7 + 4) = 4/11।
Q12. 1 से 50 तक की कोई संख्या चुनी गई। उसके अभाज्य (prime) होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 7/25
(B) 3/10
(C) 8/25
(D) 1/5
सही उत्तर: (B)
हल: 1–50 में 15 अभाज्य: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47; P = 15/50 = 3/10।
Q13. 1 से 50 तक की कोई संख्या चुनी गई। उसके 4 या 6 से विभाज्य होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 2/5
(B) 6/25
(C) 9/25
(D) 8/25
सही उत्तर: (D)
हल: 4 के गुणज 12, 6 के गुणज 8, दोनों (12 के गुणज: 12, 24, 36, 48) 4 → 12 + 8 − 4 = 16; P = 16/50 = 8/25।
Q14. A और B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3 और P(B) = 0.6। "A हो पर B न हो" की प्रायिकता है: Practice
(A) 0.18
(B) 0.12
(C) 0.28
(D) 0.42
सही उत्तर: (B)
हल: P(A और B′) = P(A) × [1 − P(B)] = 0.3 × 0.4 = 0.12।
Q15. तीन निशानेबाज़ों के निशाना लगाने की प्रायिकताएँ 0.5, 0.6 और 0.8 हैं (स्वतंत्र)। लक्ष्य पर कम से कम एक निशाना लगने की प्रायिकता है: Practice
(A) 0.96
(B) 0.24
(C) 0.04
(D) 0.76
सही उत्तर: (A)
हल: सब चूकें: 0.5 × 0.4 × 0.2 = 0.04; P(कम से कम एक) = 1 − 0.04 = 0.96।
Q16. A के किसी प्रश्न को हल करने की प्रायिकता 1/2 और B की 1/3 है। ठीक एक के हल करने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/6
(B) 2/3
(C) 1/2
(D) 5/6
सही उत्तर: (C)
हल: A हल, B नहीं: (1/2)(2/3) = 1/3; A नहीं, B हल: (1/2)(1/3) = 1/6; योग = 1/3 + 1/6 = 1/2।
Q17. एक पासा फेंका गया और पता चला कि सम संख्या आई है। उसके अभाज्य होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/2
(B) 1/6
(C) 1/3
(D) 2/3
सही उत्तर: (C)
हल: नई प्रतिदर्श समष्टि {2, 4, 6}; इनमें अभाज्य केवल 2 → P = 1/3।
Q18. एक पत्ता निकाला गया और वह लाल है। उसके बादशाह होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/26
(B) 1/13
(C) 1/2
(D) 2/13
सही उत्तर: (B)
हल: लाल पत्ते 26, उनमें बादशाह 2 → P = 2/26 = 1/13।
Q19. लीप वर्ष में 53 शुक्रवार होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 2/7
(B) 1/7
(C) 3/7
(D) 53/366
सही उत्तर: (A)
हल: लीप वर्ष = 52 सप्ताह + 2 दिन; 7 संभव जोड़ों में से (गुरु, शुक्र) और (शुक्र, शनि) में शुक्रवार → P = 2/7।
Q20. शब्द STATISTICS से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। उसके T होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/5
(B) 1/10
(C) 2/5
(D) 3/10
सही उत्तर: (D)
हल: 10 अक्षर: S 3, T 3, A 1, I 2, C 1 → P(T) = 3/10।
Q21. अक्षर C, A, T को यादृच्छिक क्रम में लिखा गया। शब्द "CAT" बनने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/3
(B) 1/6
(C) 1/9
(D) 1/27
सही उत्तर: (B)
हल: 3 अलग अक्षरों के क्रम 3! = 6; उनमें "CAT" केवल 1 → P = 1/6।
Q22. दो व्यक्तियों का जन्म सप्ताह के एक ही दिन होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/49
(B) 6/7
(C) 1/7
(D) 2/7
सही उत्तर: (C)
हल: पहला व्यक्ति कोई भी दिन; दूसरे का वही दिन होने की प्रायिकता 1/7 (या 7/49)।
Q23. एक पासे को दो बार फेंका गया। कम से कम एक बार 6 आने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/3
(B) 1/6
(C) 25/36
(D) 11/36
सही उत्तर: (D)
हल: P(एक भी 6 नहीं) = (5/6)² = 25/36; P(कम से कम एक 6) = 1 − 25/36 = 11/36।
Q24. 3 पुरुषों और 2 महिलाओं में से 2 व्यक्ति यादृच्छिक चुने गए। दोनों महिलाएँ होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/10
(B) 2/5
(C) 3/10
(D) 1/5
सही उत्तर: (A)
हल: कुल ⁵C₂ = 10; दोनों महिलाएँ ²C₂ = 1 → P = 1/10।
Q25. थैला I में 2 लाल, 3 काली और थैला II में 4 लाल, 1 काली गेंद है। कोई थैला यादृच्छिक चुनकर निकाली गई गेंद लाल है। उसके थैला II से होने की प्रायिकता है: Practice
(A) 1/3
(B) 2/3
(C) 4/5
(D) 1/2
सही उत्तर: (B)
हल: P(लाल ∩ I) = ½ × 2/5 = 1/5; P(लाल ∩ II) = ½ × 4/5 = 2/5; P(II | लाल) = (2/5)/(1/5 + 2/5) = 2/3।

📝 Practice questions

Quantitative Aptitude — Practice MCQs (Bilingual) Ch 24: Probability
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