Common Notes SSC CGL · CHSL · Police · Bank · Railway अध्याय 25

📊 सांख्यिकी (उन्नत)

SSC CGL टियर-II पेपर-II (JSO / सांख्यिकी अन्वेषक ग्रेड-II) के पाठ्यक्रम पर आधारित: वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य-माध्यिका-बहुलक, विभाजन मान, अपकिरण, आघूर्ण, विषमता व ककुदता, सहसंबंध व समाश्रयण, बेज़ प्रमेय, यादृच्छिक चर व बंटन, प्रतिचयन, आकलन, सार्थकता परीक्षण, ANOVA, काल श्रेणी और सूचकांक। मूल सांख्यिकी (माध्य, माध्यिका, बहुलक, SD) अध्याय 23 में है।

📌 इस अध्याय का क्रम: SSC CGL Tier 2 Paper II (JSO / SI Gr-II) की 12 official इकाइयाँ, उसी क्रम में — हर इकाई में नोट्स, 📘 सूत्र, ✏️ हल सहित उदाहरण और ⚠️ Exam Traps; अंत में इकाई-वार Practice MCQs। ध्यान दें: JSO (Paper II) के PYQs अभी SF Prep पर उपलब्ध नहीं हैं — यहाँ के सभी प्रश्न अभ्यास के लिए SF Prep द्वारा तैयार हैं, PYQ नहीं।

📑 इस पेज के टॉपिक (Jump to Topic):

1. इकाई 1 · संग्रह व प्रस्तुतीकरण 2. इकाई 2 · केंद्रीय प्रवृत्ति 3. इकाई 3 · अपकिरण 4. इकाई 4 · आघूर्ण व विषमता 5. इकाई 5 · सहसंबंध व समाश्रयण 6. इकाई 6 · प्रायिकता 7. इकाई 7 · यादृच्छिक चर व बंटन 8. इकाई 8 · प्रतिचयन 9. इकाई 9 · आकलन व परीक्षण 10. इकाई 10 · ANOVA 11. इकाई 11 · काल श्रेणी 12. इकाई 12 · सूचकांक 13. Practice MCQs

📌 1. इकाई 1 · आँकड़ों का संग्रह, वर्गीकरण और प्रस्तुतीकरण

	प्राथमिक आँकड़े (Primary)	द्वितीयक आँकड़े (Secondary)
अर्थ	अन्वेषक द्वारा पहली बार, अपने उद्देश्य के लिए स्वयं एकत्र	पहले से किसी और द्वारा एकत्र व प्रकाशित/अप्रकाशित
उदाहरण/स्रोत	सर्वेक्षण, साक्षात्कार, प्रश्नावली	जनगणना रिपोर्ट, RBI बुलेटिन, सरकारी प्रकाशन, शोध पत्रिकाएँ
खर्च व समय	अधिक	कम (पर उपयुक्तता व विश्वसनीयता जाँचें)

प्राथमिक आँकड़े एकत्र करने की विधियाँ: प्रत्यक्ष व्यक्तिगत अन्वेषण, अप्रत्यक्ष मौखिक अन्वेषण, स्थानीय स्रोतों/संवाददाताओं से सूचना, डाक द्वारा प्रश्नावली (सूचक स्वयं भरे), गणकों द्वारा अनुसूची (गणक भरे)।
संगणना (census) = हर इकाई की जाँच; प्रतिदर्श सर्वेक्षण (sample survey) = कुछ इकाइयों की जाँच।
वर्गीकरण के आधार: भौगोलिक (स्थान), कालानुक्रमिक (समय), गुणात्मक (गुण/attribute), मात्रात्मक (वर्ग-अंतराल)।
वर्ग-अंतराल: अपवर्जी (exclusive, 10–20 में 20 शामिल नहीं) और समावेशी (inclusive, 10–19)। स्टर्जेस नियम: वर्गों की संख्या k = 1 + 3.322 log₁₀N।
सारणी के भाग: सारणी संख्या, शीर्षक, शीर्ष टिप्पणी (head note), स्तंभ शीर्षक (caption), पंक्ति शीर्षक (stub), मुख्य भाग (body), पाद टिप्पणी (footnote), स्रोत।
प्रस्तुतीकरण: आयतचित्र (histogram), बारंबारता बहुभुज, तोरण (ogive — ‘से कम’ और ‘से अधिक’ तोरण का प्रतिच्छेद = माध्यिका), पाई चार्ट (कोण = मान/कुल × 360°)।

बारंबारता बंटन और आरेख

असतत (discrete) बंटन: अलग-अलग मान (जैसे परिवार में बच्चों की संख्या); सतत (continuous) बंटन: वर्ग-अंतराल (जैसे ऊँचाई 150–155 cm)।
संचयी बारंबारता (cf): "से कम" (ऊपर से जोड़ें) और "से अधिक" (नीचे से जोड़ें)। सापेक्ष बारंबारता = f/N।
आयतचित्र केवल सतत आँकड़ों के लिए; आयतों का क्षेत्रफल बारंबारता के अनुपात में होता है। असमान वर्ग-चौड़ाई हो तो ऊँचाई = बारंबारता घनत्व = f ÷ वर्ग-चौड़ाई।
एक-विमीय आरेख: रेखा व दंड (bar) आरेख; द्वि-विमीय: आयत, वर्ग, वृत्त (pie)। Lorenz वक्र आय/धन की असमानता दिखाता है।

✏️ हल सहित उदाहरण: किसी परिवार का मासिक खर्च ₹24,000 है, जिसमें भोजन पर ₹6,000। पाई चार्ट में भोजन का केंद्रीय कोण?
→ कोण = (मान ÷ कुल) × 360° = (6,000 ÷ 24,000) × 360°
→ = ¼ × 360° = 90°

✏️ हल सहित उदाहरण: समावेशी वर्ग 10–19, 20–29, 30–39 को अपवर्जी बनाइए और पहले वर्ग का वर्ग-चिह्न बताइए।
→ दो वर्गों के बीच अंतर = 20 − 19 = 1; आधा = 0.5। निम्न सीमा से 0.5 घटाएँ, उच्च सीमा में 0.5 जोड़ें।
→ अपवर्जी वर्ग: 9.5–19.5, 19.5–29.5, 29.5–39.5 (चौड़ाई 10)।
→ वर्ग-चिह्न = (10 + 19)/2 = (9.5 + 19.5)/2 = 14.5

✏️ हल सहित उदाहरण: N = 100 प्रेक्षणों के लिए स्टर्जेस नियम से वर्गों की संख्या?
→ k = 1 + 3.322 log₁₀100 = 1 + 3.322 × 2 = 7.644
→ पूर्णांक लें → लगभग 8 वर्ग

⚠️ Exam Traps:

प्रश्नावली सूचक भरता है, अनुसूची गणक भरता है।
caption = स्तंभ (column) शीर्षक; stub = पंक्ति (row) शीर्षक।

📌 2. इकाई 2 · केंद्रीय प्रवृत्ति के माप और विभाजन मान

आँकड़ों का वर्गीकरण वर्गों (class intervals) में होता है। वर्ग चिह्न (mid-value) = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2। प्रस्तुतीकरण: आयतचित्र (histogram) से बहुलक, तोरण/ओजाइव (ogive) से माध्यिका व चतुर्थक, बारंबारता बहुभुज, दंड व पाई आरेख।

📘 सूत्र:

माध्य (लघु विधि): x̄ = A + Σfd/N, जहाँ d = x − A
पद-विचलन विधि: x̄ = A + (Σfu/N) × h, जहाँ u = (x − A)/h
माध्यिका = L + [(N/2 − cf)/f] × h
बहुलक = L + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h
Q₁ = L + [(N/4 − cf)/f] × h; Q₃ में N/4 की जगह 3N/4; Dₖ में kN/10; Pₖ में kN/100
Q₂ = D₅ = P₅₀ = माध्यिका
दो संख्याओं के लिए: GM² = AM × HM; और AM ≥ GM ≥ HM

📘 सूत्र:

भारित माध्य = Σwx/Σw; गुणोत्तर माध्य GM = antilog(Σf log x / N); हरात्मक माध्य HM = N/Σ(f/x)
गुण: Σ(x − x̄) = 0; Σ(x − A)² न्यूनतम जब A = x̄; Σ|x − A| न्यूनतम जब A = माध्यिका
अनुभवजन्य संबंध (मध्यम विषम बंटन): बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य
कौन-सा औसत कब: खुले सिरे वाले वर्ग → माध्यिका; वृद्धि दर/अनुपात → GM; चाल/दर (समान दूरी) → HM

✏️ हल सहित उदाहरण: वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50; बारंबारता 5, 8, 15, 7, 5 (N = 40)। पद-विचलन विधि से माध्य ज्ञात कीजिए।
→ वर्ग-चिह्न x = 5, 15, 25, 35, 45; A = 25, h = 10 → u = −2, −1, 0, 1, 2
→ fu = −10, −8, 0, 7, 10 → Σfu = −1
→ x̄ = 25 + (−1/40) × 10 = 25 − 0.25 = 24.75

✏️ हल सहित उदाहरण: ऊपर के बंटन की माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।
→ संचयी बारंबारता: 5, 13, 28, 35, 40; N/2 = 20 → माध्यिका वर्ग 20–30 (L = 20, cf = 13, f = 15)
→ माध्यिका = 20 + [(20 − 13)/15] × 10 = 20 + 4.67 = 24.67
→ बहुलक वर्ग 20–30: f₁ = 15, f₀ = 8, f₂ = 7 → बहुलक = 20 + [(15 − 8)/(30 − 8 − 7)] × 10 = 20 + 7/15 × 10 = 24.67
→ माध्य ≈ माध्यिका ≈ बहुलक → बंटन लगभग सममित है।

✏️ हल सहित उदाहरण: उसी बंटन के Q₁, Q₃ और D₇ ज्ञात कीजिए।
→ Q₁: N/4 = 10 → वर्ग 10–20 (cf = 5, f = 8): Q₁ = 10 + (10 − 5)/8 × 10 = 16.25
→ Q₃: 3N/4 = 30 → वर्ग 30–40 (cf = 28, f = 7): Q₃ = 30 + (30 − 28)/7 × 10 = 32.86
→ D₇: 7N/10 = 28 → वर्ग 20–30 (cf = 13, f = 15): D₇ = 20 + (28 − 13)/15 × 10 = 30

✏️ हल सहित उदाहरण: एक कार 60 km की दूरी 30 km/h से जाती है और 60 km/h से लौटती है। औसत चाल?
→ समान दूरी पर अलग-अलग चाल → हरात्मक माध्य
→ HM = 2 × 30 × 60/(30 + 60) = 3600/90 = 40 km/h (समांतर माध्य 45 गलत होगा)

⚠️ Exam Traps:

L = माध्यिका/बहुलक वर्ग की निम्न सीमा, cf = उससे पहले के वर्ग तक की संचयी बारंबारता (उस वर्ग की नहीं)।
बहुलक सूत्र में f₀ = बहुलक वर्ग से पहले की, f₂ = बाद की बारंबारता।

विभाजन मान: दशमक और शतमक

दशमक (D₁…D₉) आँकड़ों को 10 बराबर भागों में और शतमक (P₁…P₉₉) 100 बराबर भागों में बाँटते हैं। चतुर्थक (Q₁, Q₂, Q₃) 4 भागों में।

📘 सूत्र:

व्यक्तिगत श्रेणी (आरोही क्रम): Dₖ = k(n + 1)/10 वाँ पद; Pₖ = k(n + 1)/100 वाँ पद
वर्गीकृत: Dₖ = L + [(kN/10 − cf)/f] × h; Pₖ = L + [(kN/100 − cf)/f] × h
संबंध: Q₁ = P₂₅, Q₂ = D₅ = P₅₀ = माध्यिका, Q₃ = P₇₅, D₁ = P₁₀, D₉ = P₉₀
शतमक परास = P₉₀ − P₁₀; केली का विषमता गुणांक = (P₉₀ + P₁₀ − 2P₅₀)/(P₉₀ − P₁₀)
शतमक रैंक 80 = 80% प्रेक्षण उस मान से कम हैं

⚠️ Exam Traps:

वर्गीकृत आँकड़ों में kN/10 (n + 1 नहीं) से वर्ग खोजें।

📌 3. इकाई 3 · अपकिरण के माप

अपकिरण बताता है कि मान औसत के आसपास कितने फैले हैं। निरपेक्ष माप (परास, QD, MD, SD) की इकाई आँकड़ों वाली होती है; सापेक्ष माप (गुणांक, CV) इकाई-रहित होते हैं और दो श्रेणियों की तुलना में काम आते हैं।

📘 सूत्र:

चतुर्थक विचलन QD = (Q₃ − Q₁)/2; QD गुणांक = (Q₃ − Q₁)/(Q₃ + Q₁)
माध्य विचलन MD = Σ|x − A|/n; माध्यिका के सापेक्ष MD न्यूनतम होता है
परिसर गुणांक = (L − S)/(L + S)
विचरण गुणांक CV = (σ/x̄) × 100%; कम CV = अधिक स्थिर (consistent)
संयुक्त माध्य x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂)
संयुक्त विचरण σ² = [n₁(σ₁² + d₁²) + n₂(σ₂² + d₂²)]/(n₁ + n₂), dᵢ = x̄ᵢ − x̄
सामान्य बंटन में लगभग QD : MD : SD = 10 : 12 : 15

📘 सूत्र:

विचरण σ² = Σx²/n − x̄² (लघु रूप); वर्गीकृत: σ² = Σfx²/N − x̄²
पहली n प्राकृत संख्याओं का SD = √[(n² − 1)/12]; सार्व अंतर d वाली AP के n पदों का SD = d√[(n² − 1)/12]
दो संख्याओं a, b का SD = |a − b|/2; परास ≥ SD

✏️ हल सहित उदाहरण: आँकड़े 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
→ माध्य = 40/8 = 5
→ (x − 5)² = 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 → योग = 32
→ σ² = 32/8 = 4 → σ = 2

✏️ हल सहित उदाहरण: 3, 5, 8, 10, 14 का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन?
→ माध्यिका = 8; |x − 8| = 5, 3, 0, 2, 6 → योग 16
→ MD = 16/5 = 3.2; MD गुणांक = 3.2/8 = 0.4

✏️ हल सहित उदाहरण: बल्लेबाज़ A: औसत 50, SD 10; बल्लेबाज़ B: औसत 40, SD 6। कौन अधिक स्थिर (consistent) है?
→ CV(A) = 10/50 × 100 = 20%; CV(B) = 6/40 × 100 = 15%
→ कम CV = अधिक स्थिर → B (भले ही A का औसत अधिक है)

✏️ हल सहित उदाहरण: समूह 1: n = 50, माध्य 60, SD 8; समूह 2: n = 50, माध्य 50, SD 6। संयुक्त SD?
→ संयुक्त माध्य = (50 × 60 + 50 × 50)/100 = 55; d₁ = 5, d₂ = −5
→ σ² = [50(64 + 25) + 50(36 + 25)]/100 = (4450 + 3050)/100 = 75
→ σ = √75 ≈ 8.66

⚠️ Exam Traps:

मूल-बिंदु बदलने (x + k) पर SD, QD, MD नहीं बदलते; पैमाना बदलने (kx) पर |k| गुना हो जाते हैं।

📌 4. इकाई 4 · आघूर्ण, विषमता और ककुदता

📘 सूत्र:

A के सापेक्ष कच्चे आघूर्ण μ′ᵣ = Σf(x − A)ʳ/N; माध्य = A + μ′₁
μ₂ = μ′₂ − μ′₁² (विचरण); μ₃ = μ′₃ − 3μ′₂μ′₁ + 2μ′₁³
कार्ल पियर्सन विषमता गुणांक Sₖ = (माध्य − बहुलक)/σ = 3(माध्य − माध्यिका)/σ
बाउले विषमता गुणांक = (Q₃ + Q₁ − 2Q₂)/(Q₃ − Q₁), मान −1 से +1
β₁ = μ₃²/μ₂³; β₂ = μ₄/μ₂²

📘 सूत्र:

μ₄ = μ′₄ − 4μ′₃μ′₁ + 6μ′₂μ′₁² − 3μ′₁⁴
माध्य के सापेक्ष: μ₀ = 1, μ₁ = 0, μ₂ = σ²; मूल-बिंदु बदलने पर केंद्रीय आघूर्ण नहीं बदलते
γ₁ = √β₁ (चिह्न μ₃ का), γ₂ = β₂ − 3; सममित बंटन में μ₃ = 0 और β₁ = 0
कार्ल पियर्सन का गुणांक सामान्यतः −3 से +3 के बीच; बाउली का −1 से +1

β₂ का मान	वक्र
β₂ = 3	मध्यककुदी (mesokurtic) — सामान्य वक्र
β₂ > 3	तुंगककुदी (leptokurtic) — अधिक नुकीला
β₂ < 3	पृथुककुदी (platykurtic) — चपटा

✏️ हल सहित उदाहरण: A = 4 के सापेक्ष पहले चार आघूर्ण 1, 4, 10, 45 हैं। माध्य, विचरण, β₁, β₂ ज्ञात कीजिए।
→ माध्य = 4 + 1 = 5; μ₂ = 4 − 1² = 3
→ μ₃ = 10 − 3(4)(1) + 2(1)³ = 0 → β₁ = 0 (सममित)
→ μ₄ = 45 − 4(10)(1) + 6(4)(1) − 3(1) = 26 → β₂ = 26/3² = 2.89 (< 3, हल्का पृथुककुदी)

✏️ हल सहित उदाहरण: Q₁ = 20, Q₂ = 30, Q₃ = 50। बाउली का विषमता गुणांक?
→ (Q₃ + Q₁ − 2Q₂)/(Q₃ − Q₁) = (50 + 20 − 60)/(50 − 20) = 10/30
→ = 0.33 → धनात्मक विषमता

✏️ हल सहित उदाहरण: माध्य 45, माध्यिका 42, SD 9। कार्ल पियर्सन का गुणांक?
→ Sₖ = 3(माध्य − माध्यिका)/σ = 3(45 − 42)/9
→ = 1 (धनात्मक विषमता)

⚠️ Exam Traps:

धनात्मक विषमता: माध्य > माध्यिका > बहुलक (दायाँ पुच्छ लंबा); ऋणात्मक में उल्टा।

📌 5. इकाई 5 · सहसंबंध और समाश्रयण

प्रकीर्ण आरेख (scatter diagram): बिंदु ऊपर की ओर → धनात्मक, नीचे की ओर → ऋणात्मक, बिखरे → r ≈ 0।
निर्धारण गुणांक r² = y के विचरण का वह भाग जो x से समझाया जाता है; संभाव्य त्रुटि PE = 0.6745(1 − r²)/√n।
r = ±1 पर दोनों समाश्रयण रेखाएँ एक हो जाती हैं; r = 0 पर वे परस्पर लंबवत (x = x̄ और y = ȳ) होती हैं।

📘 सूत्र:

r = Cov(x, y)/(σₓσᵧ), −1 ≤ r ≤ 1
स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध: R = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]
y का x पर समाश्रयण: y − ȳ = bᵧₓ(x − x̄), bᵧₓ = r·σᵧ/σₓ; bₓᵧ = r·σₓ/σᵧ
r² = bᵧₓ × bₓᵧ; r, bᵧₓ, bₓᵧ तीनों का चिह्न एक ही
दोनों समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) पर काटती हैं
u = (x − a)/h, v = (y − b)/k हो तो r नहीं बदलता, bᵧₓ = (k/h)·bᵥᵤ
आंशिक सहसंबंध r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃)/√[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)]
गुणों का साहचर्य, यूल का Q = (ad − bc)/(ad + bc)

बहु-समाश्रयण व आंशिक/बहु-सहसंबंध (तीन चर)

📘 सूत्र:

X₁ का X₂, X₃ पर समाश्रयण: X₁ = a + b₁₂.₃X₂ + b₁₃.₂X₃ (b₁₂.₃ = आंशिक समाश्रयण गुणांक)
बहु-सहसंबंध: R²₁.₂₃ = (r₁₂² + r₁₃² − 2r₁₂r₁₃r₂₃)/(1 − r₂₃²); 0 ≤ R₁.₂₃ ≤ 1
आंशिक सहसंबंध: r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃)/√[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)]; −1 से +1
R₁.₂₃ हमेशा |r₁₂| और |r₁₃| से कम नहीं होता

✏️ हल सहित उदाहरण: x: 1, 2, 3, 4, 5 और y: 2, 4, 5, 4, 5। r और y का x पर समाश्रयण ज्ञात कीजिए।
→ x̄ = 3, ȳ = 4; dx = −2, −1, 0, 1, 2; dy = −2, 0, 1, 0, 1
→ Σdx·dy = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6; Σdx² = 10; Σdy² = 6
→ r = 6/√(10 × 6) = 6/7.75 ≈ 0.77
→ bᵧₓ = 6/10 = 0.6 → y − 4 = 0.6(x − 3) → y = 0.6x + 2.2; x = 6 पर y = 5.8

✏️ हल सहित उदाहरण: समाश्रयण रेखाएँ 8x − 10y + 66 = 0 और 40x − 18y = 214 हैं। माध्य और r ज्ञात कीजिए।
→ दोनों को हल करें: पहली × 5 → 40x − 50y = −330; घटाने पर 32y = 544 → ȳ = 17, x̄ = 13
→ पहली को y पर x की मानें: y = 0.8x + 6.6 → bᵧₓ = 0.8; दूसरी से x = 0.45y + 5.35 → bₓᵧ = 0.45
→ r² = 0.8 × 0.45 = 0.36 → r = 0.6 (उल्टा मानने पर गुणनफल 1 से बड़ा आता, जो असंभव है)

✏️ हल सहित उदाहरण: 6 वस्तुओं की कोटियों में Σd² = 14। स्पीयरमैन R?
→ R = 1 − 6 × 14/[6(36 − 1)] = 1 − 84/210
→ = 0.6

✏️ हल सहित उदाहरण: गुणों की साहचर्य सारणी: (AB) = 30, (Aβ) = 10, (αB) = 20, (αβ) = 40। यूल का Q?
→ Q = (ad − bc)/(ad + bc) = (30 × 40 − 10 × 20)/(30 × 40 + 10 × 20)
→ = 1000/1400 ≈ 0.71 → धनात्मक साहचर्य

✏️ हल सहित उदाहरण: r₁₂ = 0.7, r₁₃ = 0.5, r₂₃ = 0.5। आंशिक सहसंबंध r₁₂.₃?
→ r₁₂.₃ = (0.7 − 0.5 × 0.5)/√[(1 − 0.25)(1 − 0.25)] = 0.45/0.75
→ = 0.6

⚠️ Exam Traps:

bᵧₓ और bₓᵧ दोनों 1 से बड़े नहीं हो सकते (क्योंकि गुणनफल = r² ≤ 1)।
r = 0 का अर्थ केवल रैखिक संबंध का अभाव है, स्वतंत्रता नहीं।

⚠️ Exam Traps:

बहु-सहसंबंध R कभी ऋणात्मक नहीं होता; आंशिक सहसंबंध ऋणात्मक हो सकता है।

📌 6. इकाई 6 · प्रायिकता सिद्धांत

यादृच्छिक प्रयोग, प्रतिदर्श समष्टि S, घटना (S का उपसमुच्चय)। परस्पर अपवर्जी: A ∩ B = ∅; निःशेष: A ∪ B ∪ … = S; समसंभाव्य: सबकी प्रायिकता बराबर।
परिभाषाएँ: शास्त्रीय (classical) P(A) = अनुकूल/कुल समसंभाव्य परिणाम; सापेक्ष बारंबारता (empirical) = बहुत अधिक प्रयासों में m/n की सीमा; अभिगृहीतीय (Kolmogorov): P(A) ≥ 0, P(S) = 1, परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए P(A ∪ B) = P(A) + P(B)।
स्वतंत्र घटनाएँ: एक के होने से दूसरी की प्रायिकता नहीं बदलती; तब A और B′, A′ और B′ भी स्वतंत्र होते हैं।
पक्ष में संयोगानुपात (odds in favour) a : b → P = a/(a + b); विपक्ष में a : b → P = b/(a + b)।

📘 सूत्र:

योग प्रमेय: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); तीन घटनाएँ: P(A ∪ B ∪ C) = ΣP(A) − ΣP(A ∩ B) + P(A ∩ B ∩ C)
गुणन प्रमेय: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B)
सप्रतिबंध प्रायिकता P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B); स्वतंत्र हों तो P(A ∩ B) = P(A)P(B)
कुल प्रायिकता: P(A) = Σ P(Eᵢ)P(A|Eᵢ); बेज़ प्रमेय: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)
कम से कम एक: 1 − P(कोई नहीं) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…

✏️ हल सहित उदाहरण: P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2। P(A ∪ B), P(A|B) ज्ञात कीजिए; क्या A, B स्वतंत्र हैं?
→ P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7
→ P(A|B) = 0.2/0.4 = 0.5 = P(A)
→ P(A)P(B) = 0.2 = P(A ∩ B) → स्वतंत्र

✏️ हल सहित उदाहरण: 52 पत्तों की गड्डी से बिना वापस रखे दो पत्ते निकाले। दोनों इक्के होने की प्रायिकता?
→ P = P(पहला इक्का) × P(दूसरा इक्का | पहला इक्का) = 4/52 × 3/51
→ = 12/2652 = 1/221 (या ⁴C₂/⁵²C₂ = 6/1326)

✏️ हल सहित उदाहरण: कलश I में 3 सफेद, 2 काली; कलश II में 2 सफेद, 3 काली गेंदें। कोई कलश यादृच्छिक चुनकर निकाली गेंद सफेद है। यह कलश I से होने की प्रायिकता?
→ P(I) = P(II) = 1/2; P(W|I) = 3/5, P(W|II) = 2/5
→ बेज़: P(I|W) = (½ × 3/5)/(½ × 3/5 + ½ × 2/5) = (3/10)/(5/10)
→ = 3/5

✏️ हल सहित उदाहरण: A, B, C किसी प्रश्न को क्रमशः 1/2, 1/3, 1/4 प्रायिकता से हल करते हैं (स्वतंत्र रूप से)। प्रश्न हल होने की प्रायिकता?
→ P(कोई हल न करे) = (1/2)(2/3)(3/4) = 1/4
→ P(हल) = 1 − 1/4 = 3/4

⚠️ Exam Traps:

परस्पर अपवर्जी ≠ स्वतंत्र: यदि P(A), P(B) > 0 और A ∩ B = ∅, तो P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B) → ऐसी घटनाएँ आश्रित होती हैं।
P(A|B) और P(B|A) अलग हैं — बेज़ प्रश्नों में "दिया गया" (given) भाग हर में जाता है।

📌 7. इकाई 7 · यादृच्छिक चर और प्रायिकता बंटन

यादृच्छिक चर = प्रतिदर्श समष्टि के हर परिणाम को एक संख्या देने वाला फलन। असतत (गिनती: 0, 1, 2…) → प्रायिकता द्रव्यमान फलन p(x), Σp(x) = 1; सतत (माप) → प्रायिकता घनत्व फलन f(x), ∫f(x)dx = 1 और P(a < X < b) = वक्र के नीचे का क्षेत्रफल।
बंटन फलन F(x) = P(X ≤ x): घटता नहीं, F(−∞) = 0, F(∞) = 1। सतत चर में P(X = a) = 0।

📘 सूत्र:

सप्रतिबंध प्रायिकता P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B); स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)P(B)
बेज़ प्रमेय: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)
E(X) = Σx·p(x); Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a²Var(X)

बंटन	माध्य	विचरण	विशेष
द्विपद B(n, p)	np	npq	माध्य > विचरण; P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ
प्वासों P(λ)	λ	λ	माध्य = विचरण; P(X = r) = e⁻λλʳ/r!
सामान्य N(μ, σ²)	μ	σ²	माध्य = माध्यिका = बहुलक; Z = (X − μ)/σ
चरघातांकी (λ)	1/λ	1/λ²	f(x) = λe⁻λˣ, x ≥ 0; स्मृतिहीन

चार मुख्य बंटन — कब कौन-सा

द्विपद: n निश्चित स्वतंत्र प्रयास, हर प्रयास में दो परिणाम, सफलता की प्रायिकता p स्थिर। p = ½ पर सममित; p < ½ पर धनात्मक विषम। विचरण npq ≤ n/4।
प्वासों: दुर्लभ घटनाएँ (किसी पृष्ठ पर छपाई की गलतियाँ, एक घंटे में कॉल)। द्विपद की सीमा जब n बड़ा, p छोटा और np = λ। P(X = 0) = e⁻λ। दो स्वतंत्र प्वासों चरों का योग भी प्वासों (λ₁ + λ₂)।
सामान्य: घंटी के आकार का, सममित (β₁ = 0, β₂ = 3); नतिपरिवर्तन बिंदु μ ± σ पर; QD ≈ 0.6745σ (≈ ⅔σ), MD ≈ 0.7979σ (≈ ⅘σ)। मानक सामान्य Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1)। सारणी: P(0 < Z < 1) = 0.3413, P(0 < Z < 1.96) = 0.4750, P(0 < Z < 2) = 0.4772।
चरघातांकी: प्रतीक्षा-समय/जीवनकाल। P(X > t) = e⁻λᵗ; माध्य 1/λ, SD भी 1/λ। स्मृतिहीन: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)।
सतत एकसमान U(a, b): माध्य (a + b)/2, विचरण (b − a)²/12।

✏️ हल सहित उदाहरण: X के मान 0, 1, 2 की प्रायिकताएँ 1/4, 1/2, 1/4 हैं। E(X), Var(X) और Var(2X + 3)?
→ E(X) = 0 + 1/2 + 2/4 = 1; E(X²) = 0 + 1/2 + 4/4 = 1.5
→ Var(X) = 1.5 − 1² = 0.5
→ Var(2X + 3) = 2² × 0.5 = 2 (जोड़ा गया 3 विचरण नहीं बदलता)

✏️ हल सहित उदाहरण: एक सिक्का 6 बार उछाला। ठीक 4 चित (head) की प्रायिकता, माध्य और विचरण?
→ n = 6, p = q = ½: P(X = 4) = ⁶C₄ (½)⁶ = 15/64
→ माध्य = np = 3; विचरण = npq = 1.5

✏️ हल सहित उदाहरण: किसी कपड़े के थान में प्रति मीटर दोषों की संख्या प्वासों (λ = 2) है। किसी मीटर में कोई दोष न होने और अधिकतम 1 दोष की प्रायिकता? (e⁻² ≈ 0.1353)
→ P(0) = e⁻² ≈ 0.135
→ P(1) = 2e⁻² → P(X ≤ 1) = e⁻²(1 + 2) = 3 × 0.1353 ≈ 0.406

✏️ हल सहित उदाहरण: अंक N(60, 10²) बंटित हैं। 80 से अधिक और 50–70 के बीच अंक पाने वालों का अनुपात?
→ X = 80 → Z = (80 − 60)/10 = 2 → P(Z > 2) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228 (≈ 2.3%)
→ 50 से 70 → Z = −1 से 1 → 2 × 0.3413 = 0.6826 (≈ 68%)

✏️ हल सहित उदाहरण: बल्ब का जीवनकाल चरघातांकी है, माध्य 1000 घंटे। 1000 घंटे से अधिक चलने की प्रायिकता? 500 घंटे चल चुके बल्ब के और 1000 घंटे चलने की प्रायिकता?
→ λ = 1/1000 → P(X > 1000) = e⁻¹ ≈ 0.368
→ स्मृतिहीन गुण से दूसरा उत्तर भी e⁻¹ ≈ 0.368 — पहले के 500 घंटे मायने नहीं रखते।

संयुक्त बंटन (दो असतत यादृच्छिक चर)

📘 सूत्र:

संयुक्त प्रायिकता फलन p(x, y) = P(X = x, Y = y); p(x, y) ≥ 0 और ΣΣp(x, y) = 1
सीमांत: P(X = x) = Σᵧ p(x, y); सप्रतिबंध: P(X = x | Y = y) = p(x, y)/P(Y = y)
स्वतंत्र तभी जब हर (x, y) के लिए p(x, y) = P(X = x) × P(Y = y)
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y); Var(aX ± bY) = a²Var X + b²Var Y ± 2ab Cov(X, Y)
स्वतंत्र चरों के लिए E(XY) = E(X)E(Y) और Cov = 0 (पर Cov = 0 से स्वतंत्रता सिद्ध नहीं होती)

✏️ हल सहित उदाहरण: p(0, 0) = 0.2, p(0, 1) = 0.3, p(1, 0) = 0.1, p(1, 1) = 0.4। क्या X, Y स्वतंत्र हैं? Cov(X, Y)?
→ सीमांत: P(X = 1) = 0.1 + 0.4 = 0.5; P(Y = 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7
→ p(1, 1) = 0.4 ≠ 0.5 × 0.7 = 0.35 → स्वतंत्र नहीं
→ E(XY) = 1 × 1 × 0.4 = 0.4 → Cov = 0.4 − 0.5 × 0.7 = 0.05

💡 शॉर्टकट ट्रिक: सामान्य वक्र में μ ± σ में ≈ 68.27%, μ ± 2σ में ≈ 95.45%, μ ± 3σ में ≈ 99.73% मान।

⚠️ Exam Traps:

द्विपद में माध्य > विचरण, प्वासों में माध्य = विचरण — "माध्य 4, विचरण 5" वाला द्विपद असंभव है।
सामान्य बंटन में SD दिया हो तो Z के लिए σ से भाग दें, σ² से नहीं।

📌 8. इकाई 8 · प्रतिचयन सिद्धांत

प्राचल (parameter) = समष्टि का माप (μ, σ); प्रतिदर्शज (statistic) = प्रतिदर्श का माप (x̄, s)।
प्रायिकता प्रतिचयन: सरल यादृच्छिक, स्तरित (stratified), क्रमबद्ध (systematic), गुच्छ (cluster), बहुचरणी (multistage), बहुप्रावस्था (multiphase)।
अप्रायिकता प्रतिचयन: सविचार (purposive), सुविधा (convenience), कोटा (quota)।
प्रतिचयन त्रुटि प्रतिदर्श लेने से आती है (n बढ़ाने पर घटती है); अप्रतिचयन त्रुटि (गलत उत्तर, गणना-भूल) जनगणना में भी होती है।
अच्छे आकलक के गुण: अनभिनत (unbiased), संगत (consistent), दक्ष (efficient), पर्याप्त (sufficient)।
आकलन की विधियाँ: आघूर्ण विधि, अधिकतम संभाविता (MLE), न्यूनतम वर्ग विधि।

समष्टि (population): परिमित या अपरिमित; प्रतिचयन फ्रेम = इकाइयों की सूची जिससे प्रतिदर्श चुना जाता है; प्रतिचयन इकाई = चुनी जाने वाली इकाई (व्यक्ति, परिवार, गाँव)।
प्रतिदर्श सर्वेक्षण के लाभ: कम खर्च, कम समय, अधिक गहन जाँच, विनाशकारी परीक्षण (जैसे बल्ब का जीवन) में एकमात्र उपाय। संगणना: हर इकाई की जानकारी, पर महँगी।
SRSWR (वापसी सहित): संभावित प्रतिदर्श Nⁿ; SRSWOR (बिना वापसी): ᴺCₙ। लॉटरी विधि या यादृच्छिक संख्या सारणी से चुनें।
क्रमबद्ध (systematic): अंतराल k = N/n, पहली इकाई 1 से k में से यादृच्छिक, फिर हर k-वीं। स्तरित (stratified): आनुपातिक बँटवारा nₕ = n × Nₕ/N; नेमन बँटवारा nₕ ∝ Nₕσₕ। गुच्छ (cluster): पूरे समूह (जैसे गाँव) चुने जाते हैं। बहु-चरणी: पहले ज़िले, फिर गाँव, फिर परिवार।
केंद्रीय सीमा प्रमेय: n बड़ा हो (≈ 30 से अधिक) तो x̄ का प्रतिचयन बंटन लगभग सामान्य N(μ, σ²/n) होता है, समष्टि का बंटन कुछ भी हो।

📘 सूत्र:

मानक त्रुटि SE(x̄) = σ/√n
μ का 95% विश्वास्यता अंतराल = x̄ ± 1.96·σ/√n; 99% के लिए 2.58
s² = Σ(x − x̄)²/(n − 1) समष्टि विचरण का अनभिनत आकलक है

📘 सूत्र:

परिमित समष्टि (SRSWOR): SE(x̄) = (σ/√n) × √[(N − n)/(N − 1)] — परिमित समष्टि सुधार गुणक
अनुपात की मानक त्रुटि SE(p) = √(PQ/n)
माध्य के आकलन हेतु प्रतिदर्श आकार n = (Zσ/E)²; अनुपात हेतु n = Z²PQ/E² (E = स्वीकार्य त्रुटि)

✏️ हल सहित उदाहरण: σ = 12, n = 36। x̄ की मानक त्रुटि?
→ SE = σ/√n = 12/6 = 2

✏️ हल सहित उदाहरण: σ = 10 है। 95% विश्वास के साथ माध्य को ±2 की त्रुटि में आँकने के लिए कितना बड़ा प्रतिदर्श चाहिए?
→ n = (1.96 × 10/2)² = 9.8² = 96.04
→ हमेशा ऊपर पूर्णांक लें → 97

✏️ हल सहित उदाहरण: N = 1000 के तीन स्तर 600, 300, 100 हैं। n = 50 का आनुपातिक बँटवारा?
→ nₕ = 50 × Nₕ/1000 → 50 × 0.6, 50 × 0.3, 50 × 0.1
→ = 30, 15, 5

✏️ हल सहित उदाहरण: N = 500 में से क्रमबद्ध प्रतिचयन द्वारा n = 25 चुनने हैं; यादृच्छिक आरंभ 7 है। चुनी गई इकाइयाँ?
→ k = 500/25 = 20
→ इकाइयाँ 7, 27, 47, 67, … , 487 (7 + 24 × 20)

✏️ हल सहित उदाहरण: N = 100, n = 25 (बिना वापसी), σ = 10। SE(x̄)?
→ σ/√n = 10/5 = 2; सुधार = √(75/99) ≈ 0.870
→ SE ≈ 2 × 0.870 = 1.74

⚠️ Exam Traps:

प्रतिचयन त्रुटि n बढ़ाने पर घटती है; अप्रतिचयन त्रुटि (गलत उत्तर, गणक की भूल, अनुत्तर) संगणना में भी होती है और n बढ़ने पर बढ़ सकती है।
SE आधा करने के लिए n को चार गुना करना पड़ता है (SE ∝ 1/√n)।

📌 9. इकाई 9 · सांख्यिकीय अनुमिति: आकलन और परिकल्पना परीक्षण

आकलन (Estimation)

बिंदु आकलन = एक संख्या (जैसे x̄ = 52); अंतराल आकलन = एक परिसर जिसमें प्राचल निश्चित विश्वास से हो (जैसे 95% विश्वास्यता अंतराल)।
अनभिनत: E(T) = θ। x̄ समष्टि माध्य μ का अनभिनत आकलक है; Σ(x − x̄)²/n अभिनत है, Σ(x − x̄)²/(n − 1) अनभिनत। संगत: n बढ़ने पर T → θ। दक्ष: अनभिनत आकलकों में न्यूनतम विचरण वाला। पर्याप्त: प्रतिदर्श की सारी जानकारी रखता है।
अधिकतम संभाविता आकलक (MLE): संभाविता फलन L(θ) को अधिकतम करने वाला मान। उदाहरण: द्विपद p̂ = x/n; प्वासों λ̂ = x̄; सामान्य μ̂ = x̄, σ̂² = Σ(x − x̄)²/n (अभिनत पर संगत)।

परिकल्पना परीक्षण (Testing of Hypotheses)

चरण: (1) शून्य परिकल्पना H₀ व वैकल्पिक H₁ लिखें; (2) सार्थकता स्तर α चुनें; (3) परीक्षण-प्रतिदर्शज निकालें; (4) क्रांतिक मान से तुलना करें; (5) |परिकलित| > क्रांतिक हो तो H₀ अस्वीकार।
H₁: μ ≠ μ₀ → द्वि-पुच्छीय; H₁: μ > μ₀ या μ < μ₀ → एक-पुच्छीय। p-मान < α हो तो H₀ अस्वीकार।

प्रकार-I त्रुटि: सत्य H₀ को अस्वीकार करना (प्रायिकता α = सार्थकता स्तर); प्रकार-II त्रुटि: असत्य H₀ को स्वीकार करना (β); परीक्षण की क्षमता = 1 − β।
बड़ा प्रतिदर्श (n > 30) या ज्ञात σ → Z-परीक्षण; छोटा प्रतिदर्श, अज्ञात σ → t-परीक्षण; प्रसरणों की तुलना → F; स्वतंत्रता/आसंजन-सुष्ठुता (goodness of fit) → χ²।
5% स्तर पर द्वि-पुच्छीय क्रांतिक Z = 1.96; एक-पुच्छीय 1.645।

परीक्षण	कब	प्रतिदर्शज	स्वतंत्रता की कोटि (df)
Z (माध्य)	बड़ा प्रतिदर्श या σ ज्ञात	Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)	—
Z (अनुपात)	बड़ा प्रतिदर्श	Z = (p − P)/√(PQ/n)	—
t (एक माध्य)	छोटा प्रतिदर्श, σ अज्ञात	t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)	n − 1
t (दो स्वतंत्र माध्य)	दो छोटे प्रतिदर्श	संयुक्त s से	n₁ + n₂ − 2
युग्मित t	पहले-बाद (वही इकाइयाँ)	t = d̄/(s_d/√n)	n − 1
χ²	समंजन-सुष्ठुता / स्वतंत्रता / विचरण	Σ(O − E)²/E	k − 1 − (आकलित प्राचल); (r − 1)(c − 1)
F	दो विचरणों की तुलना, ANOVA	F = s₁²/s₂²	(n₁ − 1, n₂ − 1)

सार्थकता स्तर	द्वि-पुच्छीय Z	एक-पुच्छीय Z
5%	1.96	1.645
1%	2.58	2.33

📘 सूत्र:

Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
χ² = Σ(O − E)²/E; r × c सारणी में df = (r − 1)(c − 1)
F = s₁²/s₂² (बड़ा प्रसरण अंश में)
एक-मार्गी ANOVA (k उपचार, N प्रेक्षण): df उपचार = k − 1, त्रुटि = N − k, कुल = N − 1
द्वि-मार्गी ANOVA (r पंक्ति, c स्तंभ): त्रुटि df = (r − 1)(c − 1)
χ²(n) बंटन: माध्य = n, विचरण = 2n

✏️ हल सहित उदाहरण: x̄ = 50, σ = 8, n = 64। μ का 95% विश्वास्यता अंतराल?
→ SE = 8/√64 = 1
→ 50 ± 1.96 × 1 = (48.04, 51.96)

✏️ हल सहित उदाहरण: दावा μ = 100। n = 36, x̄ = 103, σ = 9। 5% और 1% स्तर पर (द्वि-पुच्छीय) परीक्षण कीजिए।
→ Z = (103 − 100)/(9/6) = 3/1.5 = 2
→ 5%: 2 > 1.96 → H₀ अस्वीकार; 1%: 2 < 2.58 → H₀ स्वीकार

✏️ हल सहित उदाहरण: n = 16, x̄ = 52, s = 8; H₀: μ = 50। t का मान और निर्णय (t₀.₀₂₅,₁₅ = 2.131)?
→ t = (52 − 50)/(8/4) = 1; df = 15
→ 1 < 2.131 → H₀ स्वीकार

✏️ हल सहित उदाहरण: दावा: 50% लोग किसी योजना के पक्ष में हैं। 400 के प्रतिदर्श में 220 पक्ष में। 5% स्तर पर परीक्षण?
→ p = 0.55; SE = √(0.5 × 0.5/400) = 0.025
→ Z = 0.05/0.025 = 2 > 1.96 → दावा अस्वीकार

✏️ हल सहित उदाहरण: एक पासे को 60 बार फेंका: 8, 12, 9, 11, 6, 14। क्या पासा निष्पक्ष है? (χ²₀.₀₅,₅ = 11.07)
→ E = 10 हर फलक; (O − E)² = 4, 4, 1, 1, 16, 16 → योग 42
→ χ² = 42/10 = 4.2; df = 6 − 1 = 5
→ 4.2 < 11.07 → पासा निष्पक्ष माना जाएगा

✏️ हल सहित उदाहरण: 10 उछालों में 7 चित। p का MLE?
→ द्विपद में p̂ = x/n = 7/10 = 0.7

⚠️ Exam Traps:

"H₀ स्वीकार" का अर्थ है "अस्वीकार करने का पर्याप्त प्रमाण नहीं", H₀ सिद्ध होना नहीं।
α घटाने (5% → 1%) पर प्रकार-I त्रुटि घटती है पर प्रकार-II त्रुटि बढ़ती है (n वही रहे तो)।

📌 10. इकाई 10 · प्रसरण विश्लेषण (ANOVA)

ANOVA (आर. ए. फिशर) से तीन या अधिक समूहों के माध्य एक साथ जाँचे जाते हैं। H₀: μ₁ = μ₂ = … = μₖ। कुल विचरण को "समूहों के बीच" और "समूहों के भीतर (त्रुटि)" भागों में बाँटकर F = MS(बीच)/MS(भीतर) निकालते हैं; F बड़ा हो तो माध्य समान नहीं।

मान्यताएँ: प्रेक्षण स्वतंत्र, हर समूह सामान्य बंटन से, सभी समूहों का विचरण समान (समविचरणता), प्रभाव योज्य। समूहों का आकार बराबर होना ज़रूरी नहीं।
प्रयोग अभिकल्पना से संबंध: पूर्णतः यादृच्छिक अभिकल्पना (CRD) → एक-मार्गी; यादृच्छिक खंड अभिकल्पना (RBD) → द्वि-मार्गी; m × m लैटिन वर्ग (LSD) में त्रुटि df = (m − 1)(m − 2)।

📘 सूत्र:

सुधार गुणक CF = G²/N (G = सभी प्रेक्षणों का योग)
कुल SS (TSS) = Σx² − CF; उपचार SS (SST) = Σ(Tᵢ²/nᵢ) − CF; त्रुटि SS (SSE) = TSS − SST
एक-मार्गी df: उपचार k − 1, त्रुटि N − k, कुल N − 1; MST = SST/(k − 1), MSE = SSE/(N − k), F = MST/MSE
द्वि-मार्गी (प्रति कोष्ठ एक प्रेक्षण, r पंक्तियाँ × c स्तंभ): TSS = SSR + SSC + SSE; df: (r − 1) + (c − 1) + (r − 1)(c − 1) = rc − 1

विचरण का स्रोत	SS	df	MS	F
उपचार (समूहों के बीच)	SST	k − 1	MST = SST/(k − 1)	MST/MSE
त्रुटि (समूहों के भीतर)	SSE	N − k	MSE = SSE/(N − k)
कुल	TSS	N − 1

✏️ हल सहित उदाहरण: तीन विधियों से पढ़े छात्रों के अंक — A: 2, 4, 6; B: 4, 6, 8; C: 6, 8, 10। एक-मार्गी ANOVA कीजिए (F₀.₀₅(2, 6) = 5.14)।
→ योग: T_A = 12, T_B = 18, T_C = 24; G = 54, N = 9 → CF = 54²/9 = 324
→ Σx² = 56 + 116 + 200 = 372 → TSS = 372 − 324 = 48
→ SST = (144 + 324 + 576)/3 − 324 = 348 − 324 = 24; SSE = 48 − 24 = 24
→ MST = 24/2 = 12; MSE = 24/6 = 4 → F = 12/4 = 3
→ 3 < 5.14 → H₀ स्वीकार: विधियों के माध्यों में सार्थक अंतर नहीं

✏️ हल सहित उदाहरण: 4 उपचार, हर एक में 5 प्रेक्षण। SST = 60, SSE = 80। F का मान और निर्णय (F₀.₀₅(3, 16) = 3.24)?
→ N = 20 → df: उपचार 3, त्रुटि 16, कुल 19
→ MST = 60/3 = 20; MSE = 80/16 = 5 → F = 4
→ 4 > 3.24 → H₀ अस्वीकार: उपचार-माध्य समान नहीं

✏️ हल सहित उदाहरण: द्वि-मार्गी ANOVA: 4 खंड (पंक्तियाँ) × 5 उपचार (स्तंभ), प्रति कोष्ठ एक प्रेक्षण। सभी df?
→ पंक्तियाँ 4 − 1 = 3; स्तंभ 5 − 1 = 4
→ त्रुटि 3 × 4 = 12; कुल 20 − 1 = 19 (3 + 4 + 12 = 19 ✓)

⚠️ Exam Traps:

F हमेशा ≥ 0 होता है; ANOVA का F-परीक्षण सदा दाहिना (एक-पुच्छीय) होता है।
MST/MSE में df का ध्यान रखें: F(k − 1, N − k) — पहले अंश की df।

📌 11. इकाई 11 · काल श्रेणी

काल श्रेणी के घटक: दीर्घकालिक प्रवृत्ति (secular trend), मौसमी (seasonal, एक वर्ष के भीतर), चक्रीय (cyclical, व्यापार-चक्र, कई वर्ष), अनियमित (irregular — बाढ़, युद्ध)।
प्रवृत्ति मापन: मुक्त-हस्त वक्र, अर्ध-औसत, चल माध्य (moving average), न्यूनतम वर्ग विधि।

मॉडल: योज्य Y = T + S + C + I; गुणात्मक Y = T × S × C × I (व्यवहार में अधिक प्रचलित)।
उदाहरण: त्योहारों पर बिक्री बढ़ना → मौसमी; मंदी-तेज़ी → चक्रीय; जनसंख्या की लगातार वृद्धि → दीर्घकालिक प्रवृत्ति; भूकंप/हड़ताल → अनियमित।
चल माध्य: विषम अवधि (3, 5 वर्ष) का मान बीच वाले वर्ष के सामने; सम अवधि (4 वर्ष) में केंद्रित (centred) करना पड़ता है। अवधि = चक्र की लंबाई हो तो उतार-चढ़ाव हट जाते हैं। सिरों पर कुछ मान छूट जाते हैं।
न्यूनतम वर्ग विधि: Y = a + bX; X को इस तरह कोड करें कि ΣX = 0, तब a = ΣY/n और b = ΣXY/ΣX²।
मौसमी सूचकांक: सरल माध्य विधि, प्रवृत्ति-अनुपात, चल-माध्य-अनुपात, श्रृंखला सापेक्ष (link relatives)। तिमाही सूचकांकों का योग 400, मासिक का 1200। विमौसमीकृत मान = वास्तविक ÷ मौसमी सूचकांक × 100।

✏️ हल सहित उदाहरण: 2019–2023 के मान 10, 14, 12, 16, 20 हैं। 3-वर्षीय चल माध्य?
→ 2020: (10 + 14 + 12)/3 = 12; 2021: (14 + 12 + 16)/3 = 14; 2022: (12 + 16 + 20)/3 = 16
→ चल माध्य 12, 14, 16 (2019 और 2023 के लिए कोई मान नहीं)

✏️ हल सहित उदाहरण: 2019–2023 का उत्पादन 10, 12, 15, 17, 21 है। न्यूनतम वर्ग से सरल रेखा प्रवृत्ति और 2025 का अनुमान?
→ X = −2, −1, 0, 1, 2 (मूल 2021); ΣY = 75, ΣXY = −20 − 12 + 0 + 17 + 42 = 27, ΣX² = 10
→ a = 75/5 = 15, b = 27/10 = 2.7 → Y = 15 + 2.7X
→ 2025 → X = 4: Y = 15 + 10.8 = 25.8

✏️ हल सहित उदाहरण: चारों तिमाहियों के औसत 40, 50, 60, 50 हैं। मौसमी सूचकांक? तीसरी तिमाही की बिक्री 66 का विमौसमीकृत मान?
→ समग्र औसत = 200/4 = 50 → सूचकांक = तिमाही औसत/50 × 100 = 80, 100, 120, 100 (योग 400 ✓)
→ विमौसमीकृत = 66/120 × 100 = 55

✏️ हल सहित उदाहरण: 6 वर्षों के मान 20, 24, 22, 28, 32, 30। अर्ध-औसत विधि से प्रति वर्ष प्रवृत्ति-वृद्धि?
→ पहला आधा: (20 + 24 + 22)/3 = 22 (वर्ष 2 के सामने); दूसरा: (28 + 32 + 30)/3 = 30 (वर्ष 5 के सामने)
→ वृद्धि = (30 − 22)/(5 − 2) = 8/3 ≈ 2.67 प्रति वर्ष

⚠️ Exam Traps:

मौसमी उतार-चढ़ाव एक वर्ष के भीतर दोहराते हैं; चक्रीय कई वर्षों में — "हर गर्मी" = मौसमी, "हर 7–8 वर्ष" = चक्रीय।

📌 12. इकाई 12 · सूचकांक

सूचकांक = समय/स्थान के साथ किसी समूह (कीमत, मात्रा) में सापेक्ष परिवर्तन का माप; आधार वर्ष = 100। कीमत, मात्रा और मूल्य (value = Σp₁q₁/Σp₀q₀ × 100) सूचकांक।
सरल समूही Σp₁/Σp₀ × 100; सापेक्षों का सरल माध्य Σ(p₁/p₀ × 100)/n; भारित: लास्पेयर्स, पाशे, फिशर, मार्शल-एजवर्थ, डोरबिश-बाउली (L + P)/2, केली (स्थिर भार)।
परीक्षण: इकाई परीक्षण; समय-उत्क्राम्यता P₀₁ × P₁₀ = 1; उपादान-उत्क्राम्यता P₀₁ × Q₀₁ = V₀₁; चक्रीय परीक्षण (सरल समूही व स्थिर-भार सूचकांक संतुष्ट करते हैं)।
श्रृंखला आधार (chain base): हर वर्ष पिछले वर्ष = 100 (श्रृंखला सापेक्ष); इन्हें गुणा करके स्थिर-आधार श्रृंखला बनती है।

📘 सूत्र:

लास्पेयर्स P₀₁ = Σp₁q₀/Σp₀q₀ × 100 (आधार वर्ष की मात्रा)
पाशे P₀₁ = Σp₁q₁/Σp₀q₁ × 100 (चालू वर्ष की मात्रा)
फिशर आदर्श सूचकांक = √(L × P)
मार्शल-एजवर्थ = Σp₁(q₀ + q₁)/Σp₀(q₀ + q₁) × 100

⚠️ Exam Traps:

फिशर सूचकांक समय-उत्क्राम्यता (TRT) और उपादान-उत्क्राम्यता (FRT) दोनों परीक्षण संतुष्ट करता है, इसलिए "आदर्श" कहलाता है।
L > P प्रायः होता है (लास्पेयर्स ऊपर की ओर, पाशे नीचे की ओर अभिनत)।

📘 सूत्र:

आधार परिवर्तन: नया सूचकांक = (पुराना सूचकांक ÷ नए आधार वर्ष का पुराना सूचकांक) × 100
शृंखलन (splicing): नई श्रेणी को पुराने आधार पर लाना = नया सूचकांक × (कड़ी वर्ष का पुराना सूचकांक/100); पुरानी को नए आधार पर = पुराना × 100/(कड़ी वर्ष का पुराना सूचकांक)
अपस्फीतीकरण (deflating): वास्तविक मज़दूरी = मौद्रिक मज़दूरी ÷ मूल्य सूचकांक × 100
मुद्रा की क्रय-शक्ति = 100/CPI (रुपये में)

जीवन-निर्वाह (उपभोक्ता मूल्य) सूचकांक की विधि	सूत्र
समूही व्यय विधि (Aggregate expenditure)	Σp₁q₀/Σp₀q₀ × 100 (= Laspeyres)
पारिवारिक बजट विधि (Family budget)	ΣPW/ΣW; P = p₁/p₀ × 100, W = p₀q₀ (आधार वर्ष का व्यय)

दोनों विधियों का उत्तर एक ही आता है। CPI किसी विशेष वर्ग (जैसे औद्योगिक श्रमिक) के जीवन-यापन की लागत में बदलाव मापता है।

✏️ हल सहित उदाहरण: वस्तु A: p₀ = 10, q₀ = 8, p₁ = 12, q₁ = 10; वस्तु B: p₀ = 20, q₀ = 6, p₁ = 25, q₁ = 5। लास्पेयर्स, पाशे, फिशर?
→ Σp₁q₀ = 96 + 150 = 246; Σp₀q₀ = 80 + 120 = 200 → L = 123
→ Σp₁q₁ = 120 + 125 = 245; Σp₀q₁ = 100 + 100 = 200 → P = 122.5
→ फिशर = √(123 × 122.5) ≈ 122.75

✏️ हल सहित उदाहरण: आधार 2015 = 100 पर 2020 का सूचकांक 125 और 2023 का 150 है। आधार 2020 करने पर 2023 का सूचकांक?
→ नया = 150/125 × 100 = 120

✏️ हल सहित उदाहरण: 2015 में वेतन ₹10,000 (CPI 100), 2024 में ₹16,000 (CPI 160)। क्या वास्तविक वेतन बढ़ा?
→ 2024 का वास्तविक वेतन = 16,000/160 × 100 = ₹10,000
→ 2015 जितना ही → कोई वास्तविक वृद्धि नहीं

✏️ हल सहित उदाहरण: पारिवारिक बजट विधि: भोजन P = 150, W = 50; किराया P = 120, W = 20; अन्य P = 110, W = 30। CPI?
→ ΣPW = 7500 + 2400 + 3300 = 13,200; ΣW = 100
→ CPI = 13,200/100 = 132

⚠️ Exam Traps:

आधार परिवर्तन में नए आधार वर्ष का सूचकांक 100 हो जाता है — उसी से भाग दें।

📌 13. Practice MCQs

इकाई-वार प्रश्न: इकाई 1: Q1–Q4; इकाई 2: Q5–Q9; इकाई 3: Q10–Q13; इकाई 4: Q14–Q17; इकाई 5: Q18–Q23; इकाई 6: Q24–Q29; इकाई 7: Q30–Q38; इकाई 8: Q39–Q43; इकाई 9: Q44–Q50; इकाई 10: Q51–Q55; इकाई 11: Q56–Q60; इकाई 12: Q61–Q64।

📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)

Q1. बंटन की माध्यिका का आलेखी निर्धारण किस आरेख से किया जाता है? Practice

(A) तोरण (ogive)

(B) आयतचित्र (histogram)

(C) पाई आरेख

(D) प्रकीर्ण आरेख (scatter diagram)

सही उत्तर: (A)
हल: 'से कम' और 'से अधिक' तोरण जहाँ कटते हैं, उस बिंदु का x-निर्देशांक माध्यिका है। आयतचित्र से बहुलक निकलता है।

Q2. किसी सांख्यिकीय सारणी में स्तंभों (columns) के शीर्षक क्या कहलाते हैं? Practice

(A) स्टब (Stub)

(B) मुख्य भाग (Body)

(C) शीर्षक पंक्ति (Caption)

(D) शीर्ष टिप्पणी (Head note)

सही उत्तर: (C)
हल: Caption = स्तंभ शीर्षक; Stub = पंक्ति शीर्षक; Body में आँकड़े होते हैं।

Q3. एक शोधकर्ता अपने अध्ययन में भारत की जनगणना रिपोर्ट के आँकड़े लेता है। ये आँकड़े उसके लिए हैं: Practice

(A) द्वितीयक आँकड़े

(B) प्राथमिक आँकड़े

(C) प्रायोगिक आँकड़े

(D) गुणात्मक आँकड़े

सही उत्तर: (A)
हल: आँकड़े किसी और (जनगणना विभाग) ने एकत्र किए हैं, इसलिए शोधकर्ता के लिए ये द्वितीयक हैं।

Q4. किसी परिवार का मासिक बजट ₹40,000 है, जिसमें किराया ₹10,000 है। पाई चार्ट में किराए का केंद्रीय कोण क्या होगा? Practice

(A) 72°

(B) 90°

(C) 100°

(D) 120°

सही उत्तर: (B)
हल: कोण = (10,000/40,000) × 360° = ¼ × 360° = 90°।

Q5. निम्न बारंबारता बंटन का समांतर माध्य है — वर्ग: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70; बारंबारता: 4, 13, 9, 4, 10 Practice

(A) 40.75

(B) 45.75

(C) 50.75

(D) 45

सही उत्तर: (B)
हल: वर्ग चिह्न लें: Σfx = 1830, N = 40 → माध्य = 1830/40 = 45.75।

Q6. निम्न बंटन की माध्यिका है — वर्ग: 100-110, 110-120, 120-130, 130-140, 140-150; बारंबारता: 11, 12, 8, 2, 13 Practice

(A) 115

(B) 110

(C) 120

(D) 775/6

सही उत्तर: (C)
हल: N/2 = 23; माध्यिका वर्ग 110-120 (cf = 11, f = 12) → 110 + [(23 − 11)/12] × 10 = 120।

Q7. निम्न बंटन का बहुलक है — वर्ग: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60; बारंबारता: 8, 9, 8, 14, 10 Practice

(A) 45

(B) 42.5

(C) 44

(D) 46

सही उत्तर: (D)
हल: बहुलक वर्ग 40-50: f₁ = 14, f₀ = 8, f₂ = 10 → 40 + [6/10] × 10 = 46।

Q8. निम्न में से कौन तीसरे चतुर्थक (Q₃) के बराबर है? Practice

(A) D₇

(B) P₇₀

(C) D₃

(D) P₇₅

सही उत्तर: (D)
हल: Q₃ के नीचे 75% प्रेक्षण होते हैं → Q₃ = P₇₅।

Q9. N = 50 वाले बंटन में वर्ग 20–30 की बारंबारता 10 है और उससे पहले की संचयी बारंबारता 15 है। चौथा दशमक D₄ ज्ञात कीजिए। Practice

(A) 22.5

(B) 25

(C) 27.5

(D) 30

सही उत्तर: (B)
हल: 4N/10 = 20 → वर्ग 20–30 (cf 15 से 25)। D₄ = 20 + [(20 − 15)/10] × 10 = 25।

Q10. किसी बंटन में Q₁ = 15 और Q₃ = 26 है। चतुर्थक विचलन गुणांक है: Practice

(A) 5.5

(B) 11/41

(C) 41/11

(D) 11/82

सही उत्तर: (B)
हल: (Q₃ − Q₁)/(Q₃ + Q₁) = (26 − 15)/(26 + 15) = 11/41।

Q11. किसी श्रेणी का माध्य 120 और मानक विचलन 6 है। विचरण गुणांक है: Practice

(A) 10%

(B) 30%

(C) 5%

(D) 2.5%

सही उत्तर: (C)
हल: CV = (σ/x̄) × 100 = (6/120) × 100 = 5%।

Q12. दो समूहों का विवरण: n₁ = 30, x̄₁ = 59, σ₁ = 8; n₂ = 30, x̄₂ = 47, σ₂ = 8। संयुक्त मानक विचलन है: Practice

(A) 8

(B) 100

(C) 12

(D) 10

सही उत्तर: (D)
हल: संयुक्त माध्य = 53; d₁ = 6, d₂ = −6; σ² = [30(64 + 36) + 30(64 + 36)]/60 = 100 → σ = 10।

Q13. आँकड़े 4, 7, 8, 9, 12 का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन है: Practice

(A) 2.5

(B) 1.6

(C) 10

(D) 2

सही उत्तर: (D)
हल: माध्य = 40/5 = 8; |x − 8| = 4, 1, 0, 1, 4 → योग 10; MD = 10/5 = 2।

Q14. किसी बंटन का माध्य 58, बहुलक 54 और मानक विचलन 8 है। कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक है: Practice

(A) 1/2

(B) −1/2

(C) 1.5

(D) 2

सही उत्तर: (A)
हल: Sₖ = (माध्य − बहुलक)/σ = (58 − 54)/8 = 1/2।

Q15. एक धनात्मक विषम (positively skewed) बंटन में सही क्रम है: Practice

(A) बहुलक > माध्यिका > माध्य

(B) माध्य > माध्यिका > बहुलक

(C) माध्य = माध्यिका = बहुलक

(D) माध्यिका > माध्य > बहुलक

सही उत्तर: (B)
हल: धनात्मक विषमता में दायाँ पुच्छ लंबा होता है, जो माध्य को सबसे दाईं ओर खींचता है।

Q16. किसी बंटन के लिए μ₂ = 4 और μ₄ = 40 है। β₂ और वक्र का प्रकार है: Practice

(A) β₂ = 2.5, तुंगककुदी (leptokurtic)

(B) β₂ = 2.5, मध्यककुदी (mesokurtic)

(C) β₂ = 2.5, पृथुककुदी (platykurtic)

(D) β₂ = 10, पृथुककुदी (platykurtic)

सही उत्तर: (C)
हल: β₂ = μ₄/μ₂² = 40/16 = 2.5; β₂ < 3 → पृथुककुदी (platykurtic)।

Q17. A = 5 के सापेक्ष पहले दो आघूर्ण μ′₁ = 2 और μ′₂ = 20 हैं। माध्य और विचरण हैं: Practice

(A) माध्य 7, विचरण 16

(B) माध्य 3, विचरण 16

(C) माध्य 7, विचरण 20

(D) माध्य 7, विचरण 24

सही उत्तर: (A)
हल: माध्य = A + μ′₁ = 5 + 2 = 7; विचरण μ₂ = μ′₂ − μ′₁² = 20 − 4 = 16।

Q18. दो चरों x और y के लिए Cov(x, y) = 6, σₓ = 3 और σᵧ = 4 है। सहसंबंध गुणांक r है: Practice

(A) −1/2

(B) 2/3

(C) 6/7

(D) 1/2

सही उत्तर: (D)
हल: r = Cov/(σₓσᵧ) = 6/(3 × 4) = 1/2।

Q19. 5 विद्यार्थियों को दो परीक्षकों ने कोटि (rank) दी; कोटि-अंतरों के वर्गों का योग Σd² = 36 है। स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध गुणांक है: Practice

(A) −4/5

(B) 1.8

(C) −43/65

(D) 7/10

सही उत्तर: (A)
हल: R = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] = 1 − 216/120 = −4/5।

Q20. दो समाश्रयण रेखाएँ 3x + 4y = 40 और 6x + 5y = 68 हैं। x और y के माध्य (x̄, ȳ) हैं: Practice

(A) (4, 8)

(B) (8, 4)

(C) (9, 3)

(D) (8, 6)

सही उत्तर: (B)
हल: दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) पर कटती हैं; हल करने पर x = 8, y = 4 (जाँच: 3·8 + 4·4 = 40, 6·8 + 5·4 = 68)।

Q21. यदि r₁₂ = 0.6, r₁₃ = 0.8 और r₂₃ = 0, तो बहु-सहसंबंध गुणांक R₁.₂₃ है: Practice

(A) 0.7

(B) 0.48

(C) 1.4

(D) 1

सही उत्तर: (D)
हल: R² = (0.36 + 0.64 − 0)/(1 − 0) = 1 → R = 1। (R कभी 1 से अधिक नहीं)

Q22. यदि bᵧₓ = 0.8 और bₓᵧ = 0.2 हो, तो सहसंबंध गुणांक r है: Practice

(A) 0.16

(B) 0.5

(C) 0.4

(D) 1

सही उत्तर: (C)
हल: r² = bᵧₓ × bₓᵧ = 0.16 → r = 0.4 (दोनों गुणांक धनात्मक, इसलिए r भी धनात्मक)।

Q23. गुणों की सारणी में (AB) = 40, (Aβ) = 10, (αB) = 10, (αβ) = 40 है। यूल का साहचर्य गुणांक Q है: Practice

(A) 3/5

(B) 16/17

(C) 15/17

(D) 1/17

सही उत्तर: (C)
हल: Q = (ad − bc)/(ad + bc) = (1600 − 100)/(1600 + 100) = 1500/1700 = 15/17।

Q24. एक कारखाने में मशीनें A 30%, B 30%, C 40% उत्पादन करती हैं; इनके दोषपूर्ण उत्पाद क्रमशः 4%, 2%, 5% हैं। यादृच्छिक चुनी वस्तु दोषपूर्ण निकली। उसके मशीन A से बने होने की प्रायिकता है: Practice

(A) 6/19

(B) 3/10

(C) 4/11

(D) 3/250

सही उत्तर: (A)
हल: बेज़: P(A|D) = (30 × 4)/(30 × 4 + 30 × 2 + 40 × 5) = 120/380 = 6/19।

Q25. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 और P(A ∪ B) = 0.8 है। P(A|B) क्या है? Practice

(A) 0.6

(B) 0.3

(C) 0.5

(D) 0.375

सही उत्तर: (A)
हल: P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8 = 0.3; P(A|B) = 0.3/0.5 = 0.6।

Q26. A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, P(A) = 0.4 और P(B) = 0.5। P(A ∪ B) है: Practice

(A) 0.9

(B) 0.2

(C) 0.5

(D) 0.7

सही उत्तर: (D)
हल: स्वतंत्र → P(A ∩ B) = 0.4 × 0.5 = 0.2; P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7।

Q27. 52 पत्तों से बिना वापस रखे दो पत्ते निकाले जाते हैं। दोनों पान (hearts) होने की प्रायिकता है: Practice

(A) 1/16

(B) 1/17

(C) 1/4

(D) 3/52

सही उत्तर: (B)
हल: P = 13/52 × 12/51 = 156/2652 = 1/17। (1/16 तब होता जब पत्ता वापस रखा जाता।)

Q28. किसी कक्षा में 40% छात्राएँ हैं। 10% छात्राएँ और 5% छात्र अनुत्तीर्ण होते हैं। एक अनुत्तीर्ण विद्यार्थी चुना गया; उसके छात्रा होने की प्रायिकता है: Practice

(A) 2/5

(B) 3/7

(C) 2/3

(D) 4/7

सही उत्तर: (D)
हल: बेज़: P(छात्रा ∩ अनुत्तीर्ण) = 0.4 × 0.1 = 0.04; P(छात्र ∩ अनुत्तीर्ण) = 0.6 × 0.05 = 0.03; P = 0.04/(0.04 + 0.03) = 4/7।

Q29. यदि दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं और दोनों की प्रायिकता शून्य से अधिक है, तो वे: Practice

(A) हमेशा स्वतंत्र होती हैं

(B) हमेशा आश्रित (स्वतंत्र नहीं) होती हैं

(C) निःशेष होती हैं

(D) समसंभाव्य होती हैं

सही उत्तर: (B)
हल: A ∩ B = ∅ → P(A ∩ B) = 0, जबकि P(A)P(B) > 0; इसलिए स्वतंत्रता की शर्त टूटती है — घटनाएँ आश्रित हैं।

Q30. एक द्विपद बंटन का माध्य 12 और विचरण 3 है। n और p हैं: Practice

(A) n = 16, p = 1/4

(B) n = 15, p = 3/4

(C) n = 16, p = 3/4

(D) n = 32, p = 3/8

सही उत्तर: (C)
हल: q = विचरण/माध्य = 3/12 = 1/4 → p = 3/4; n = माध्य ÷ p = 12 ÷ 3/4 = 16।

Q31. किस बंटन में माध्य और विचरण सदैव बराबर होते हैं? Practice

(A) द्विपद

(B) सामान्य

(C) चरघातांकी

(D) प्वासों

सही उत्तर: (D)
हल: प्वासों में माध्य = विचरण = λ। द्विपद में माध्य > विचरण; चरघातांकी में माध्य = 1/λ, विचरण = 1/λ²।

Q32. X, Y ∈ {0, 1} का संयुक्त बंटन: p(0, 0) = 0.1, p(0, 1) = 0.3, p(1, 0) = 0.2, p(1, 1) = k। P(X = 1) ज्ञात कीजिए। Practice

(A) 0.4

(B) 0.6

(C) 0.5

(D) 0.2

सही उत्तर: (B)
हल: कुल 1 → k = 0.4। P(X = 1) = p(1, 0) + p(1, 1) = 0.2 + 0.4 = 0.6।

Q33. एक सिक्का 4 बार उछाला जाता है। ठीक 2 चित (head) आने की प्रायिकता है: Practice

(A) 1/4

(B) 1/2

(C) 3/8

(D) 5/16

सही उत्तर: (C)
हल: द्विपद, n = 4, p = ½: P(X = 2) = ⁴C₂ (½)⁴ = 6/16 = 3/8।

Q34. एक प्वासों चर के लिए P(X = 1) = P(X = 2) है। इसका माध्य λ है: Practice

(A) 2

(B) 1

(C) 4

(D) 1/2

सही उत्तर: (A)
हल: λe⁻λ = λ²e⁻λ/2 → 1 = λ/2 → λ = 2।

Q35. X ~ N(50, 5²) है। X के 60 से अधिक होने की प्रायिकता है (P(0 < Z < 2) = 0.4772): Practice

(A) 0.0228

(B) 0.4772

(C) 0.9772

(D) 0.1587

सही उत्तर: (A)
हल: Z = (60 − 50)/5 = 2; P(Z > 2) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228।

Q36. किसी मशीन के ख़राब होने तक का समय चरघातांकी बंटन में है, माध्य 5 वर्ष। मशीन के 10 वर्ष से अधिक चलने की प्रायिकता है: Practice

(A) e⁻⁰·⁵

(B) 1 − e⁻²

(C) e⁻¹⁰

(D) e⁻²

सही उत्तर: (D)
हल: λ = 1/5 = 0.2; P(X > 10) = e⁻λᵗ = e⁻⁰·² ˣ ¹⁰ = e⁻²।

Q37. X के मान 1, 2, 3 की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.2, 0.5, 0.3 हैं। E(X) है: Practice

(A) 2

(B) 2.1

(C) 1.9

(D) 2.3

सही उत्तर: (B)
हल: E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1।

Q38. यदि Var(X) = 4 हो, तो Var(3X − 2) है: Practice

(A) 10

(B) 12

(C) 36

(D) 34

सही उत्तर: (C)
हल: Var(aX + b) = a²Var(X) = 9 × 4 = 36; −2 से विचरण नहीं बदलता।

Q39. जनसंख्या को समरूप उपसमूहों (जैसे आयु-वर्ग) में बाँटकर प्रत्येक से यादृच्छिक प्रतिदर्श लेना कहलाता है: Practice

(A) गुच्छ प्रतिचयन

(B) स्तरित प्रतिचयन

(C) क्रमबद्ध प्रतिचयन

(D) कोटा प्रतिचयन

सही उत्तर: (B)
हल: स्तर भीतर से समरूप होते हैं और प्रत्येक स्तर से यादृच्छिक चयन होता है — स्तरित प्रतिचयन। गुच्छ प्रतिचयन में पूरे गुच्छ चुने जाते हैं।

Q40. समष्टि का मानक विचलन 15 है और प्रतिदर्श आकार 25। प्रतिदर्श माध्य की मानक त्रुटि है: Practice

(A) 0.6

(B) 3

(C) 5

(D) 9

सही उत्तर: (B)
हल: SE = σ/√n = 15/√25 = 15/5 = 3।

Q41. σ = 20 है। 95% विश्वास के साथ माध्य को ±4 की त्रुटि में आँकने के लिए न्यूनतम प्रतिदर्श आकार है: Practice

(A) 97

(B) 96

(C) 49

(D) 10

सही उत्तर: (A)
हल: n = (Zσ/E)² = (1.96 × 20/4)² = 9.8² = 96.04 → ऊपर का पूर्णांक 97।

Q42. तीन स्तरों में 2000, 3000 और 5000 इकाइयाँ हैं। 200 के प्रतिदर्श का आनुपातिक बँटवारा है: Practice

(A) 67, 67, 66

(B) 20, 30, 50

(C) 40, 60, 100

(D) 50, 60, 90

सही उत्तर: (C)
हल: N = 10,000; nₕ = 200 × Nₕ/N → 200 × 0.2 = 40, 200 × 0.3 = 60, 200 × 0.5 = 100।

Q43. 1200 इकाइयों की सूची से क्रमबद्ध प्रतिचयन द्वारा 60 इकाइयाँ चुननी हैं। प्रतिचयन अंतराल k है: Practice

(A) 60

(B) 12

(C) 72

(D) 20

सही उत्तर: (D)
हल: k = N/n = 1200/60 = 20; पहली इकाई 1–20 में से यादृच्छिक, फिर हर 20वीं।

Q44. एक सिक्का 50 बार उछालने पर 37 बार चित आया। H₀: सिक्का निष्पक्ष है। χ² का मान है: Practice

(A) 5.76

(B) 24/25

(C) 11.52

(D) 288/37

सही उत्तर: (C)
हल: E = 25 (चित), 25 (पट); χ² = (37 − 25)²/25 + (13 − 25)²/25 = 5.76 + 5.76 = 11.52।

Q45. प्रकार-I त्रुटि (Type-I error) का अर्थ है: Practice

(A) असत्य H₀ को स्वीकार करना

(B) सत्य H₀ को स्वीकार करना

(C) H₁ को सदा स्वीकार करना

(D) सत्य H₀ को अस्वीकार करना

सही उत्तर: (D)
हल: प्रकार-I त्रुटि की प्रायिकता α = सार्थकता स्तर। असत्य H₀ को स्वीकार करना प्रकार-II त्रुटि (β) है।

Q46. x̄ = 80, σ = 10, n = 100 है। समष्टि माध्य का 95% विश्वास्यता अंतराल है: Practice

(A) (79.02, 80.98)

(B) (77.42, 82.58)

(C) (60.4, 99.6)

(D) (78.04, 81.96)

सही उत्तर: (D)
हल: SE = 10/√100 = 1; 80 ± 1.96 × 1 = (78.04, 81.96)। (2.58 से 99% अंतराल बनता है।)

Q47. H₀: μ = 50; n = 25, x̄ = 52, σ = 5। परीक्षण-प्रतिदर्शज Z का मान है: Practice

(A) 0.4

(B) 10

(C) 2

(D) 1

सही उत्तर: (C)
हल: Z = (52 − 50)/(5/√25) = 2/1 = 2।

Q48. 12 और 10 आकार के दो स्वतंत्र छोटे प्रतिदर्शों के माध्यों की तुलना के t-परीक्षण में स्वतंत्रता की कोटि है: Practice

(A) 20

(B) 22

(C) 21

(D) 9

सही उत्तर: (A)
हल: df = n₁ + n₂ − 2 = 12 + 10 − 2 = 20।

Q49. प्वासों समष्टि से प्रतिदर्श 2, 4, 3, 5, 1 मिला। λ का अधिकतम संभाविता आकलक (MLE) है: Practice

(A) 15

(B) 3

(C) 2.5

(D) √3

सही उत्तर: (B)
हल: प्वासों में λ̂ = x̄ = (2 + 4 + 3 + 5 + 1)/5 = 15/5 = 3।

Q50. समष्टि विचरण σ² का अनभिनत आकलक कौन-सा है? Practice

(A) Σ(x − x̄)²/(n − 1)

(B) Σ(x − x̄)²/n

(C) Σ(x − x̄)²/(n + 1)

(D) Σ(x − x̄)/n

सही उत्तर: (A)
हल: E[Σ(x − x̄)²] = (n − 1)σ², इसलिए n − 1 से भाग देने पर आकलक अनभिनत होता है; n से भाग देने पर σ² से छोटा (अभिनत)।

Q51. एक-मार्गी ANOVA में 5 उपचार और कुल 30 प्रेक्षण हैं। त्रुटि (समूहों के भीतर) की स्वतंत्रता की कोटि है: Practice

(A) 4

(B) 29

(C) 25

(D) 24

सही उत्तर: (C)
हल: त्रुटि df = N − k = 30 − 5 = 25 (उपचार df = 4, कुल df = 29)।

Q52. एक-मार्गी ANOVA: k = 4 उपचार, N = 24, SST = 48, SSE = 60। F का मान है: Practice

(A) 0.8

(B) 16/3

(C) 4

(D) 5/4

सही उत्तर: (B)
हल: MST = 48/(4 − 1) = 16; MSE = 60/(24 − 4) = 3; F = 16/3 ≈ 5.33।

Q53. एक ANOVA में कुल वर्ग-योग (TSS) = 120 और समूहों के बीच वर्ग-योग = 45 है। त्रुटि वर्ग-योग है: Practice

(A) 165

(B) 90

(C) 60

(D) 75

सही उत्तर: (D)
हल: TSS = SST + SSE → SSE = 120 − 45 = 75।

Q54. 5 पंक्तियों और 4 स्तंभों वाले द्वि-मार्गी ANOVA (प्रति कोष्ठ एक प्रेक्षण) में त्रुटि की स्वतंत्रता की कोटि है: Practice

(A) 19

(B) 20

(C) 12

(D) 7

सही उत्तर: (C)
हल: त्रुटि df = (r − 1)(c − 1) = 4 × 3 = 12; कुल df = 20 − 1 = 19।

Q55. इनमें से कौन-सी ANOVA की मान्यता नहीं है? Practice

(A) सभी समूहों का आकार बराबर हो

(B) प्रेक्षण स्वतंत्र हों

(C) हर समूह सामान्य बंटन से हो

(D) सभी समूहों का विचरण समान हो

सही उत्तर: (A)
हल: ANOVA की मान्यताएँ स्वतंत्रता, सामान्यता और समविचरणता हैं; असमान आकार वाले समूहों पर भी एक-मार्गी ANOVA किया जा सकता है।

Q56. श्रेणी 8, 12, 13, 17, 20 में तीसरे पद के सामने आने वाला 3-वर्षीय चल माध्य है: Practice

(A) 13

(B) 15.5

(C) 11

(D) 14

सही उत्तर: (D)
हल: तीसरे पद के सामने (12 + 13 + 17)/3 = 42/3 = 14। (पहला चल माध्य (8 + 12 + 13)/3 = 11 दूसरे पद के सामने आता है।)

Q57. हर वर्ष गर्मियों में आइसक्रीम की बिक्री बढ़ जाती है। यह काल श्रेणी का कौन-सा घटक है? Practice

(A) चक्रीय विचरण

(B) मौसमी विचरण

(C) दीर्घकालिक प्रवृत्ति

(D) अनियमित विचरण

सही उत्तर: (B)
हल: एक वर्ष के भीतर नियमित रूप से दोहराने वाला उतार-चढ़ाव = मौसमी विचरण।

Q58. प्रवृत्ति समीकरण Y = 50 + 4X है (मूल 2020, X एक-एक वर्ष में)। 2026 के लिए प्रवृत्ति मान है: Practice

(A) 54

(B) 74

(C) 70

(D) 78

सही उत्तर: (B)
हल: 2026 → X = 6; Y = 50 + 4 × 6 = 74।

Q59. दूसरी तिमाही का मौसमी सूचकांक 125 है और उस तिमाही की वास्तविक बिक्री ₹500 लाख। विमौसमीकृत बिक्री है: Practice

(A) ₹625 लाख

(B) ₹375 लाख

(C) ₹500 लाख

(D) ₹400 लाख

सही उत्तर: (D)
हल: विमौसमीकृत = वास्तविक ÷ सूचकांक × 100 = 500 ÷ 125 × 100 = 400।

Q60. चारों तिमाहियों के (समायोजित) मौसमी सूचकांकों का योग होता है: Practice

(A) 400

(B) 100

(C) 1200

(D) 4

सही उत्तर: (A)
हल: हर तिमाही का औसत सूचकांक 100 होता है, इसलिए योग 4 × 100 = 400; मासिक सूचकांकों का योग 1200।

Q61. कौन-सा सूचकांक समय-उत्क्राम्यता और उपादान-उत्क्राम्यता दोनों परीक्षण संतुष्ट करता है? Practice

(A) फिशर का आदर्श सूचकांक

(B) लास्पेयर्स सूचकांक

(C) पाशे सूचकांक

(D) सरल समूही सूचकांक

सही उत्तर: (A)
हल: फिशर = √(L × P) दोनों परीक्षण पूरे करता है, इसलिए 'आदर्श' कहलाता है। लास्पेयर्स व पाशे कोई भी पूरा नहीं करते।

Q62. 2015 = 100 आधार पर सूचकांक: 2020 में 150 और 2024 में 240। आधार 2020 करने पर 2024 का सूचकांक होगा: Practice

(A) 90

(B) 140

(C) 160

(D) 62.5

सही उत्तर: (C)
हल: 240/150 × 100 = 160।

Q63. किसी कर्मचारी की मौद्रिक मज़दूरी ₹18,000 है और उपभोक्ता मूल्य सूचकांक 150 है। उसकी वास्तविक मज़दूरी है: Practice

(A) ₹12,000

(B) ₹27,000

(C) ₹16,500

(D) ₹13,500

सही उत्तर: (A)
हल: 18,000 ÷ 150 × 100 = ₹12,000।

Q64. किसी वर्ष लास्पेयर्स सूचकांक 144 और पाशे सूचकांक 121 है। फिशर का आदर्श सूचकांक है: Practice

(A) 132.5

(B) 144

(C) 132

(D) 121

सही उत्तर: (C)
हल: फिशर = √(L × P) = √(144 × 121) = 12 × 11 = 132। (132.5 समांतर माध्य — डोरबिश-बाउली — है।)

Practice MCQs SF Prep द्वारा तैयार (PYQ नहीं)। सभी उत्तर गणना द्वारा जाँचे गए।

📊 सांख्यिकी (उन्नत)

📌 1. इकाई 1 · आँकड़ों का संग्रह, वर्गीकरण और प्रस्तुतीकरण

बारंबारता बंटन और आरेख

📌 2. इकाई 2 · केंद्रीय प्रवृत्ति के माप और विभाजन मान

विभाजन मान: दशमक और शतमक

📌 3. इकाई 3 · अपकिरण के माप

📌 4. इकाई 4 · आघूर्ण, विषमता और ककुदता

📌 5. इकाई 5 · सहसंबंध और समाश्रयण

बहु-समाश्रयण व आंशिक/बहु-सहसंबंध (तीन चर)

📌 6. इकाई 6 · प्रायिकता सिद्धांत

📌 7. इकाई 7 · यादृच्छिक चर और प्रायिकता बंटन

चार मुख्य बंटन — कब कौन-सा

संयुक्त बंटन (दो असतत यादृच्छिक चर)

📌 8. इकाई 8 · प्रतिचयन सिद्धांत

📌 9. इकाई 9 · सांख्यिकीय अनुमिति: आकलन और परिकल्पना परीक्षण

आकलन (Estimation)

परिकल्पना परीक्षण (Testing of Hypotheses)

📌 10. इकाई 10 · प्रसरण विश्लेषण (ANOVA)

📌 11. इकाई 11 · काल श्रेणी

📌 12. इकाई 12 · सूचकांक

📌 13. Practice MCQs

📝 Practice questions