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📌 1. गिनती के सूत्र
| आकृति | सूत्र |
|---|---|
| त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर n रेखाएँ (भुजाएँ सहित n भाग-रेखाएँ) | n(n−1)/2 |
| n × n वर्ग-जाल में वर्ग | 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6 |
| m × n जाल में आयत (वर्ग सहित) | [m(m+1)/2] × [n(n+1)/2] |
| वर्ग, दोनों विकर्णों सहित | 8 त्रिभुज |
| एक रेखा पर n बिंदु — रेखाखंड | n(n−1)/2 |
💡 याद रखने की ट्रिक: सूत्र न लगे तो क्रमबद्ध गिनें: पहले छोटे (एकल) भाग, फिर दो-भाग वाले, फिर तीन… अक्षर-लेबल लगाकर।
📌 2. उदाहरण
- 2 × 2 जाल: वर्ग = 4 + 1 = 5; आयत = 3 × 3 = 9।
- 3 × 3 जाल: वर्ग = 9 + 4 + 1 = 14; आयत = 6 × 6 = 36।
- त्रिभुज के शीर्ष से आधार तक 2 आंतरिक रेखाएँ (कुल 4 रेखाएँ) = 4×3/2 = 6 त्रिभुज।
⚠️ Exam Traps:
- आयत गिनती में वर्ग भी शामिल होते हैं — प्रश्न में 'वर्ग छोड़कर' हो तो घटाएँ।
📌 3. छिपी आकृति (Embedded Figure)
- दी गई आकृति का आकार, कोण व दिशा बिना घुमाए जटिल आकृति में होनी चाहिए।
- विशिष्ट कोना/कोण पहले ढूँढें, फिर बाकी रेखाएँ मिलाएँ।
📌 4. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. एक वर्ग में दोनों विकर्ण खींचे गए हैं। कुल कितने त्रिभुज? Practice
सही उत्तर: (B)
4 छोटे + 4 बड़े (दो-दो छोटे मिलकर) = 8।
4 छोटे + 4 बड़े (दो-दो छोटे मिलकर) = 8।
Q2. 3 × 3 वर्ग-जाल में कुल कितने वर्ग हैं? Practice
सही उत्तर: (C)
9 + 4 + 1 = 14।
9 + 4 + 1 = 14।
Q3. 4 × 4 वर्ग-जाल (शतरंज जैसा) में कुल वर्ग? Practice
सही उत्तर: (D)
16 + 9 + 4 + 1 = 30।
16 + 9 + 4 + 1 = 30।
Q4. 8 × 8 शतरंज बोर्ड में कुल कितने वर्ग हैं? Practice
सही उत्तर: (A)
8×9×17/6 = 204।
8×9×17/6 = 204।
Q5. 2 × 3 आयताकार जाल में कुल आयत (वर्ग सहित)? Practice
सही उत्तर: (B)
(2×3/2) × (3×4/2) = 3 × 6 = 18।
(2×3/2) × (3×4/2) = 3 × 6 = 18।
Q6. 3 × 3 जाल में कुल आयत (वर्ग सहित)? Practice
सही उत्तर: (C)
6 × 6 = 36।
6 × 6 = 36।
Q7. 3 × 3 जाल में वर्ग छोड़कर कितने आयत? Practice
सही उत्तर: (D)
36 − 14 = 22।
36 − 14 = 22।
Q8. एक त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर 3 आंतरिक रेखाएँ खींची गईं। कुल त्रिभुज? Practice
सही उत्तर: (A)
कुल रेखाएँ 5 ⇒ 5×4/2 = 10।
कुल रेखाएँ 5 ⇒ 5×4/2 = 10।
Q9. एक रेखा पर 6 बिंदु हैं। कुल कितने रेखाखंड बनते हैं? Practice
सही उत्तर: (B)
6×5/2 = 15।
6×5/2 = 15।
Q10. 2 × 2 वर्ग-जाल में कुल वर्ग? Practice
सही उत्तर: (C)
4 + 1 = 5।
4 + 1 = 5।
Q11. 1 × 4 पट्टी (एक पंक्ति में 4 खाने) में कुल आयत? Practice
सही उत्तर: (D)
4×5/2 = 10।
4×5/2 = 10।
Q12. छिपी आकृति खोजते समय कौन-सा नियम सही है? Practice
सही उत्तर: (A)
Embedded figure में आकार व दिशा वही रहती है।
Embedded figure में आकार व दिशा वही रहती है।
Q13. एक त्रिभुज के तीनों शीर्षों से सामने की भुजा के मध्य-बिंदु तक रेखाएँ (माध्यिकाएँ) खींची गईं। कुल त्रिभुज? Practice
सही उत्तर: (B)
6 छोटे + 6 (दो-दो से) + 3 (तीन से, शीर्ष पर) + 1 बड़ा = 16।
6 छोटे + 6 (दो-दो से) + 3 (तीन से, शीर्ष पर) + 1 बड़ा = 16।
Q14. 5 × 5 वर्ग-जाल में कुल वर्ग? Practice
सही उत्तर: (C)
25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55।
25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55।
Q15. एक आयत में एक विकर्ण खींचा गया। कुल त्रिभुज? Practice
सही उत्तर: (D)
विकर्ण आयत को 2 त्रिभुजों में बाँटता है।
विकर्ण आयत को 2 त्रिभुजों में बाँटता है।
Q16. एक त्रिभुज के आधार के समानांतर 1 रेखा और शीर्ष से आधार तक 1 रेखा खींची गई। कुल त्रिभुज? Practice
सही उत्तर: (A)
शीर्ष से रेखाएँ 3 ⇒ हर क्षैतिज स्तर पर 3 त्रिभुज; 2 स्तर (समानांतर रेखा + आधार) ⇒ 3 × 2 = 6।
शीर्ष से रेखाएँ 3 ⇒ हर क्षैतिज स्तर पर 3 त्रिभुज; 2 स्तर (समानांतर रेखा + आधार) ⇒ 3 × 2 = 6।
Q17. 2 × 4 जाल में कुल आयत (वर्ग सहित)? Practice
सही उत्तर: (B)
3 × 10 = 30।
3 × 10 = 30।
Q18. एक वृत्त में 4 व्यास खींचे गए (8 बराबर भाग)। केंद्र पर बने त्रिज्यखंड (sectors) कितने हैं? Practice
सही उत्तर: (C)
4 व्यास = 8 त्रिज्याएँ ⇒ 8 छोटे त्रिज्यखंड।
4 व्यास = 8 त्रिज्याएँ ⇒ 8 छोटे त्रिज्यखंड।
Q19. 2 × 2 जाल में कुल आयत (वर्ग सहित)? Practice
सही उत्तर: (D)
3 × 3 = 9।
3 × 3 = 9।
Q20. एक पंचभुज के सभी विकर्ण खींचने पर कितने विकर्ण होंगे? Practice
सही उत्तर: (A)
n(n−3)/2 = 5×2/2 = 5।
n(n−3)/2 = 5×2/2 = 5।