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📌 1. पासे के नियम
- मानक पासा: विपरीत फलकों का योग 7 (1-6, 2-5, 3-4)।
- एक ही स्थिति में दिखने वाले तीनों फलक आपस में आसन्न हैं — विपरीत नहीं।
- दो स्थितियों में एक फलक समान हो: समान फलक से दक्षिणावर्त पढ़ें; बचे फलक क्रम से विपरीत।
- किसी फलक के 4 आसन्न फलक ज्ञात हों तो बचा हुआ उसका विपरीत।
⚠️ Exam Traps:
- दो स्थितियों में दो फलक समान हों तो बचे दोनों फलक आपस में विपरीत।
📌 2. रंगे घन को काटना
| छोटे घन (n × n × n) | संख्या |
|---|---|
| कुल | n³ |
| 3 फलक रंगे (कोने) | 8 |
| 2 फलक रंगे (किनारे) | 12(n−2) |
| 1 फलक रंगा | 6(n−2)² |
| कोई फलक नहीं रंगा | (n−2)³ |
💡 याद रखने की ट्रिक: जाँच: 8 + 12(n−2) + 6(n−2)² + (n−2)³ = n³। n = 3 पर: 8 + 12 + 6 + 1 = 27।
📌 3. घन का जाल (Net)
- जाल की एक सीधी पंक्ति में एक छोड़कर अगला फलक विपरीत होता है।
- घन के 11 भिन्न जाल होते हैं; 2 × 3 जैसे आकार जिसमें चार फलक एक बिंदु पर मिलें, घन नहीं बनाते।
📌 4. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. मानक पासे में 2 के विपरीत कौन-सा अंक होता है? Practice
सही उत्तर: (B)
विपरीत योग 7 ⇒ 7 − 2 = 5।
विपरीत योग 7 ⇒ 7 − 2 = 5।
Q2. एक पासे की दो स्थितियाँ: (1, 2, 3) और (1, 4, 5) दिख रहे हैं। 1 के विपरीत कौन-सा है? Practice
सही उत्तर: (C)
1 के आसन्न 2, 3, 4, 5 ⇒ बचा 6 विपरीत।
1 के आसन्न 2, 3, 4, 5 ⇒ बचा 6 विपरीत।
Q3. 3 × 3 × 3 घन को सभी ओर से रंगकर 27 छोटे घनों में काटा गया। कितने घनों के ठीक 2 फलक रंगे हैं? Practice
सही उत्तर: (D)
12(n − 2) = 12 × 1 = 12।
12(n − 2) = 12 × 1 = 12।
Q4. 4 × 4 × 4 रंगे घन को 64 छोटे घनों में काटा गया। कितने घनों का कोई फलक नहीं रंगा? Practice
सही उत्तर: (A)
(4 − 2)³ = 8।
(4 − 2)³ = 8।
Q5. 4 × 4 × 4 रंगे घन में ठीक 1 फलक रंगे छोटे घन? Practice
सही उत्तर: (B)
6(4 − 2)² = 24।
6(4 − 2)² = 24।
Q6. किसी भी आकार के रंगे घन में 3 फलक रंगे छोटे घन कितने होते हैं (n ≥ 2)? Practice
सही उत्तर: (C)
केवल 8 कोने वाले घन।
केवल 8 कोने वाले घन।
Q7. 5 × 5 × 5 रंगे घन में ठीक 2 फलक रंगे छोटे घन? Practice
सही उत्तर: (D)
12(5 − 2) = 36।
12(5 − 2) = 36।
Q8. एक पासे की दो स्थितियों में (A, B, C) और (A, B, D) दिख रहे हैं। C के विपरीत कौन है? Practice
सही उत्तर: (A)
दो फलक समान ⇒ बचे C और D विपरीत।
दो फलक समान ⇒ बचे C और D विपरीत।
Q9. एक ही स्थिति में दिखने वाले दो फलकों के बारे में क्या सत्य है? Practice
सही उत्तर: (B)
एक साथ दिखने वाले फलक कभी विपरीत नहीं होते।
एक साथ दिखने वाले फलक कभी विपरीत नहीं होते।
Q10. घन में कितने किनारे (edges) होते हैं? Practice
सही उत्तर: (C)
घन: 6 फलक, 8 शीर्ष, 12 किनारे।
घन: 6 फलक, 8 शीर्ष, 12 किनारे।
Q11. 3 × 3 × 3 रंगे घन में कितने छोटे घनों का कोई फलक नहीं रंगा? Practice
सही उत्तर: (D)
(3 − 2)³ = 1 (केंद्र वाला)।
(3 − 2)³ = 1 (केंद्र वाला)।
Q12. मानक पासे पर 1, 2, 3 तीनों एक साथ दिख रहे हैं। नीचे के तीन फलकों (अदृश्य) का योग? Practice
सही उत्तर: (A)
अदृश्य = 6, 5, 4 ⇒ 15 (कुल 21 − 6)।
अदृश्य = 6, 5, 4 ⇒ 15 (कुल 21 − 6)।
Q13. एक घन के जाल में एक सीधी पंक्ति में फलक P, Q, R, S क्रम से हैं। P के विपरीत कौन है? Practice
सही उत्तर: (B)
सीधी पंक्ति में एक छोड़कर अगला विपरीत ⇒ P-R, Q-S।
सीधी पंक्ति में एक छोड़कर अगला विपरीत ⇒ P-R, Q-S।
Q14. एक घन को दो विपरीत फलकों पर लाल, दो पर नीला और दो पर हरा रंगा गया, फिर 27 छोटे घनों में काटा। कितने छोटे घनों पर लाल और नीला दोनों रंग हैं? Practice
सही उत्तर: (C)
लाल-नीला मिलने वाले किनारे 2 × 2 = 4; हर किनारे पर 3 घन ⇒ 12 (इनमें 8 कोने भी शामिल, जिन पर हरा भी है)।
लाल-नीला मिलने वाले किनारे 2 × 2 = 4; हर किनारे पर 3 घन ⇒ 12 (इनमें 8 कोने भी शामिल, जिन पर हरा भी है)।
Q15. 4 × 4 × 4 घन के 64 छोटे घनों में से कितनों पर कम से कम एक फलक रंगा है? Practice
सही उत्तर: (D)
64 − 8 = 56।
64 − 8 = 56।
Q16. पासे की तीन स्थितियों से पता चलता है कि 1 के आसन्न फलक 2, 3, 5 और 6 हैं। 1 के विपरीत कौन है? Practice
सही उत्तर: (A)
1 के चार आसन्न ज्ञात ⇒ बचा 4 विपरीत।
1 के चार आसन्न ज्ञात ⇒ बचा 4 विपरीत।
Q17. घन के कितने भिन्न जाल (nets) होते हैं? Practice
सही उत्तर: (B)
घन के 11 भिन्न जाल होते हैं।
घन के 11 भिन्न जाल होते हैं।
Q18. एक रंगे घन को 125 बराबर छोटे घनों में काटा गया। कितने घनों का ठीक 1 फलक रंगा है? Practice
सही उत्तर: (C)
n = 5 ⇒ 6(3)² = 54।
n = 5 ⇒ 6(3)² = 54।
Q19. मानक पासे पर ऊपर 4 है। नीचे कौन-सा अंक है? Practice
सही उत्तर: (D)
7 − 4 = 3।
7 − 4 = 3।
Q20. एक घन को 3 कट में (हर दिशा में 1) काटा गया। अधिकतम कितने टुकड़े बनेंगे? Practice
सही उत्तर: (A)
हर दिशा में 1 कट ⇒ 2 × 2 × 2 = 8।
हर दिशा में 1 कट ⇒ 2 × 2 × 2 = 8।