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20 Quantitative Aptitude (Maths) — Common Notes 🕒 Updated 2026-10-17
Common Notes SSC CGL · CHSL · Police · Bank · Railway अध्याय 20

📏 त्रिकोणमिति

त्रिकोणमितीय अनुपात, मानक कोणों के मान, मूल सर्वसमिकाएँ, पूरक कोण संबंध और a sinθ + b cosθ का अधिकतम-न्यूनतम मान।

📌 1. मानक मान

θ0°30°45°60°90°
sin01/21/√2√3/21
cos1√3/21/√21/20
tan01/√31√3अपरिभाषित
  • sinθ = लंब/कर्ण, cosθ = आधार/कर्ण, tanθ = लंब/आधार; cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम।

📌 2. सर्वसमिकाएँ

📘 सूत्र:
  • sin²θ + cos²θ = 1
  • sec²θ − tan²θ = 1 ⇒ secθ + tanθ = k हो तो secθ − tanθ = 1/k
  • cosec²θ − cot²θ = 1
  • sin(90° − θ) = cosθ, tan(90° − θ) = cotθ, sec(90° − θ) = cosecθ
  • a sinθ + b cosθ का अधिकतम = √(a² + b²), न्यूनतम = −√(a² + b²)
  • यदि A + B = 90° तो tanA·tanB = 1, sin²A + sin²B = 1
💡 शॉर्टकट ट्रिक: मान रखकर जाँचें: θ = 45° या 30° रखकर विकल्प मिलाएँ — SSC में बहुत तेज़ तरीका।
⚠️ Exam Traps:
  • sin²θ का अर्थ (sinθ)² है, sin(θ²) नहीं।

📌 3. डिग्री और रेडियन

📘 सूत्र:
  • π रेडियन = 180°; 1 रेडियन = 180°/π ≈ 57.3° (≈ 57°16′, π = 22/7 लेने पर)
  • डिग्री → रेडियन: × π/180; रेडियन → डिग्री: × 180/π
  • 1° = 60′ (मिनट), 1′ = 60″ (सेकंड)
  • चाप की लंबाई l = rθ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ½r²θ (θ रेडियन में)
  • घड़ी: मिनट की सुई 6° प्रति मिनट, घंटे की सुई 0.5° प्रति मिनट
डिग्री30°45°60°90°120°180°270°360°
रेडियनπ/6π/4π/3π/22π/3π3π/22π
⚠️ Exam Traps:
  • l = rθ में θ हमेशा रेडियन में रखें; डिग्री दी हो तो पहले बदलें।
  • मिनट वाले कोण (जैसे 40°20′) में पहले 20′ = 1/3° बदलें।

📌 4. Practice MCQs

📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. 4 sin²30° + cos²0° का मान है: Practice
(A) 3/4
(B) 2
(C) 1/2
(D) √3/2
सही उत्तर: (B)
हल: मानक मान रखने पर 4 sin²30° + cos²0° = 2।
Q2. sec 40° / cosec 50° का मान है: Practice
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) −1
सही उत्तर: (C)
हल: cosec(90° − θ) = secθ → cosec 50° = sec 40° → अनुपात = 1।
Q3. 6 sinθ + 8 cosθ का अधिकतम मान है: Practice
(A) 14
(B) 48
(C) 11
(D) 10
सही उत्तर: (D)
हल: अधिकतम = √(6² + 8²) = 10।
Q4. यदि secθ + tanθ = 5, तो secθ − tanθ = ? Practice
(A) 1/5
(B) 4
(C) 5
(D) 6
सही उत्तर: (A)
हल: sec²θ − tan²θ = 1 → (secθ − tanθ) = 1/5 = 1/5।
Q5. यदि sinθ = 3/5 (θ न्यून कोण), तो cosecθ = ? Practice
(A) 5/4
(B) 5/3
(C) 4/3
(D) 3/4
सही उत्तर: (B)
हल: लंब 3, कर्ण 5 → आधार = 4; cosecθ = 5/3।
Q6. sin⁴θ − cos⁴θ + cos²θ = ? Practice
(A) cos²θ
(B) 1 + sin²θ
(C) sin²θ
(D) 0
सही उत्तर: (C)
हल: सर्वसमिकाओं (sin² + cos² = 1, sec² − tan² = 1) से सरल करने पर = sin²θ।
Q7. tan 35° × tan 55° + sin²35° + sin²55° = ? Practice
(A) 1
(B) 0
(C) 3
(D) 2
सही उत्तर: (D)
हल: A + B = 90° → tanA·tanB = 1 और sin²A + sin²B = 1 → 1 + 1 = 2।
Q8. tan 45° + cot 45° का मान है: Practice
(A) 2
(B) 4
(C) √3
(D) 3/4
सही उत्तर: (A)
हल: मानक मान रखने पर tan 45° + cot 45° = 2।
Q9. sec 15° / cosec 75° का मान है: Practice
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) −1
सही उत्तर: (B)
हल: cosec(90° − θ) = secθ → cosec 75° = sec 15° → अनुपात = 1।
Q10. 7 sinθ + 24 cosθ का अधिकतम मान है: Practice
(A) 31
(B) 168
(C) 25
(D) 26
सही उत्तर: (C)
हल: अधिकतम = √(7² + 24²) = 25।
Q11. यदि secθ + tanθ = 4, तो secθ − tanθ = ? Practice
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 1/4
सही उत्तर: (D)
हल: sec²θ − tan²θ = 1 → (secθ − tanθ) = 1/4 = 1/4।
Q12. यदि sinθ = 20/29 (θ न्यून कोण), तो cosecθ = ? Practice
(A) 29/20
(B) 29/21
(C) 21/20
(D) 20/21
सही उत्तर: (A)
हल: लंब 20, कर्ण 29 → आधार = 21; cosecθ = 29/20।
Q13. (1 + tan²θ) cos²θ = ? Practice
(A) tan²θ
(B) 1
(C) cos²θ
(D) 1 + sin²θ
सही उत्तर: (B)
हल: सर्वसमिकाओं (sin² + cos² = 1, sec² − tan² = 1) से सरल करने पर = 1।
Q14. cos²30° − sin²30° का मान है: Practice
(A) 3
(B) −1
(C) 1/2
(D) 2
सही उत्तर: (C)
हल: मानक मान रखने पर cos²30° − sin²30° = 1/2।
Q15. tan 15° / cot 75° का मान है: Practice
(A) 0
(B) 2
(C) −1
(D) 1
सही उत्तर: (D)
हल: cot(90° − θ) = tanθ → cot 75° = tan 15° → अनुपात = 1।
Q16. 8 sinθ + 15 cosθ का अधिकतम मान है: Practice
(A) 17
(B) 23
(C) 120
(D) 18
सही उत्तर: (A)
हल: अधिकतम = √(8² + 15²) = 17।
Q17. यदि secθ + tanθ = 3/2, तो secθ − tanθ = ? Practice
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3/2
(D) 5/2
सही उत्तर: (B)
हल: sec²θ − tan²θ = 1 → (secθ − tanθ) = 1/3/2 = 2/3।
Q18. tanθ × cotθ + sin²θ = ? Practice
(A) 2
(B) sin²θ
(C) 1 + sin²θ
(D) 0
सही उत्तर: (C)
हल: सर्वसमिकाओं (sin² + cos² = 1, sec² − tan² = 1) से सरल करने पर = 1 + sin²θ।
Q19. tan 40° × tan 50° + sin²40° + sin²50° = ? Practice
(A) 1
(B) 0
(C) 3
(D) 2
सही उत्तर: (D)
हल: A + B = 90° → tanA·tanB = 1 और sin²A + sin²B = 1 → 1 + 1 = 2।
Q20. cosec 30° + sec 60° का मान है: Practice
(A) 4
(B) 0
(C) 1
(D) 2
सही उत्तर: (A)
हल: मानक मान रखने पर cosec 30° + sec 60° = 4।
Q21. किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 1 : 2 : 3 है। सबसे बड़ा कोण रेडियन में है: Practice
(A) π/3
(B) 2π/3
(C) π/2
(D) π/6
सही उत्तर: (C)
हल: कोण 30°, 60°, 90° → 90° = π/2।
Q22. 7π/12 रेडियन को डिग्री में बदलिए। Practice
(A) 105°
(B) 75°
(C) 115°
(D) 210°
सही उत्तर: (A)
हल: 7π/12 × 180/π = 7 × 15 = 105°।
Q23. 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 60° का कोण बनाने वाले चाप की लंबाई है (π = 22/7): Practice
(A) 11 cm
(B) 44 cm
(C) 66 cm
(D) 22 cm
सही उत्तर: (D)
हल: l = rθ = 21 × π/3 = 21 × 22/21 = 22 cm।
Q24. 40°20′ को रेडियन में बदलिए। Practice
(A) 121π/360
(B) 121π/540
(C) 101π/540
(D) 121π/270
सही उत्तर: (B)
हल: 40°20′ = 40⅓° = 121/3° → 121/3 × π/180 = 121π/540।
Q25. 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 15 cm लंबा चाप केंद्र पर कितना कोण बनाता है? Practice
(A) 0.75 रेडियन
(B) 15°
(C) 1.5°
(D) 1.5 रेडियन
सही उत्तर: (D)
हल: θ = l/r = 15/10 = 1.5 रेडियन।

📝 Practice questions

Quantitative Aptitude — Practice MCQs (Bilingual) Ch 20: Trigonometry
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