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📌 1. मूल अवधारणा
- उन्नयन कोण: नीचे से ऊपर देखने पर क्षैतिज से बना कोण। अवनमन कोण: ऊपर से नीचे देखने पर।
- उन्नयन कोण = संगत अवनमन कोण (एकांतर कोण)।
| त्रिभुज | भुजा अनुपात (लंब : आधार : कर्ण) |
|---|---|
| 30° | 1 : √3 : 2 |
| 45° | 1 : 1 : √2 |
| 60° | √3 : 1 : 2 |
📘 सूत्र:
- h = आधार × tanθ
- दो बिंदुओं से कोण 30° व 60° (एक ही ओर), बीच की दूरी d → h = (√3/2)d
⚠️ Exam Traps:
- tan लगाएँ जब ऊँचाई व आधार दोनों हों; कर्ण हो तो sin/cos।
📌 2. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. एक मीनार के पाद से 40 m दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: h = 40 × tan45° = 40 m।
हल: h = 40 × tan45° = 40 m।
Q2. एक खंभे के पाद से 15 m दूर से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। खंभे की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: h = 15 × tan60° = 15√3 m।
हल: h = 15 × tan60° = 15√3 m।
Q3. 10 m ऊँची मीनार के शिखर से भूमि पर एक बिंदु का अवनमन कोण 30° है। बिंदु की मीनार के पाद से दूरी है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: tan30° = 10/d → d = 10√3 m।
हल: tan30° = 10/d → d = 10√3 m।
Q4. एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण एक बिंदु से 30° है। मीनार की ओर 100 m चलने पर यह 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: h = (√3/2)d = (√3/2) × 100 = 50√3 m।
हल: h = (√3/2)d = (√3/2) × 100 = 50√3 m।
Q5. 30 m लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और भूमि से 30° का कोण बनाती है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: ऊँचाई = 30 × sin30° = 15 m।
हल: ऊँचाई = 30 × sin30° = 15 m।
Q6. जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, 6√3 m ऊँचे खंभे की छाया की लंबाई है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: छाया = h/tan60° = 6√3/√3 = 6 m।
हल: छाया = h/tan60° = 6√3/√3 = 6 m।
Q7. एक मीनार के पाद से 30 m दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: h = 30 × tan45° = 30 m।
हल: h = 30 × tan45° = 30 m।
Q8. एक खंभे के पाद से 30 m दूर से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। खंभे की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: h = 30 × tan60° = 30√3 m।
हल: h = 30 × tan60° = 30√3 m।
Q9. एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण एक बिंदु से 30° है। मीनार की ओर 60 m चलने पर यह 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: h = (√3/2)d = (√3/2) × 60 = 30√3 m।
हल: h = (√3/2)d = (√3/2) × 60 = 30√3 m।
Q10. 12 m लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और भूमि से 60° का कोण बनाती है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: ऊँचाई = 12 × sin60° = 6√3 m।
हल: ऊँचाई = 12 × sin60° = 6√3 m।
Q11. एक मीनार के पाद से 20 m दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: h = 20 × tan45° = 20 m।
हल: h = 20 × tan45° = 20 m।
Q12. 25 m ऊँची मीनार के शिखर से भूमि पर एक बिंदु का अवनमन कोण 30° है। बिंदु की मीनार के पाद से दूरी है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: tan30° = 25/d → d = 25√3 m।
हल: tan30° = 25/d → d = 25√3 m।
Q13. 24 m लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और भूमि से 60° का कोण बनाती है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: ऊँचाई = 24 × sin60° = 12√3 m।
हल: ऊँचाई = 24 × sin60° = 12√3 m।
Q14. जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, 12√3 m ऊँचे खंभे की छाया की लंबाई है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: छाया = h/tan60° = 12√3/√3 = 12 m।
हल: छाया = h/tan60° = 12√3/√3 = 12 m।
Q15. एक मीनार के पाद से 100 m दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: h = 100 × tan45° = 100 m।
हल: h = 100 × tan45° = 100 m।
Q16. एक खंभे के पाद से 50 m दूर से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है। खंभे की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: h = 50 × tan60° = 50√3 m।
हल: h = 50 × tan60° = 50√3 m।
Q17. 30 m ऊँची मीनार के शिखर से भूमि पर एक बिंदु का अवनमन कोण 30° है। बिंदु की मीनार के पाद से दूरी है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: tan30° = 30/d → d = 30√3 m।
हल: tan30° = 30/d → d = 30√3 m।
Q18. एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण एक बिंदु से 30° है। मीनार की ओर 80 m चलने पर यह 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: h = (√3/2)d = (√3/2) × 80 = 40√3 m।
हल: h = (√3/2)d = (√3/2) × 80 = 40√3 m।
Q19. जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, 9√3 m ऊँचे खंभे की छाया की लंबाई है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: छाया = h/tan60° = 9√3/√3 = 9 m।
हल: छाया = h/tan60° = 9√3/√3 = 9 m।
Q20. एक मीनार के पाद से 25 m दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: h = 25 × tan45° = 25 m।
हल: h = 25 × tan45° = 25 m।