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📌 1. सूत्र तालिका
| ठोस | आयतन | वक्र/पार्श्व पृष्ठ | संपूर्ण पृष्ठ |
|---|---|---|---|
| घन | a³ | 4a² | 6a² |
| घनाभ | lbh | 2h(l + b) | 2(lb + bh + hl) |
| बेलन | πr²h | 2πrh | 2πr(r + h) |
| शंकु | ⅓πr²h | πrl | πr(r + l) |
| गोला | (4/3)πr³ | 4πr² | 4πr² |
| अर्धगोला | (2/3)πr³ | 2πr² | 3πr² |
- शंकु: तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)।
- घनाभ का विकर्ण = √(l² + b² + h²); घन का = a√3।
- पिघलाकर बनाने में आयतन समान रहता है: संख्या = बड़े का आयतन / छोटे का आयतन।
⚠️ Exam Traps:
- त्रिज्या दोगुनी → गोले का आयतन 8 गुना, पृष्ठ 4 गुना।
- समान आधार व ऊँचाई पर शंकु का आयतन = बेलन का ⅓।
📌 2. प्रिज़्म और पिरामिड
| ठोस | आयतन | पार्श्व पृष्ठ (LSA) | संपूर्ण पृष्ठ (TSA) |
|---|---|---|---|
| प्रिज़्म | आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई | आधार परिमाप × ऊँचाई | LSA + 2 × आधार क्षेत्रफल |
| पिरामिड | ⅓ × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई | ½ × आधार परिमाप × तिर्यक ऊँचाई | LSA + आधार क्षेत्रफल |
📘 सूत्र:
- वर्गाकार आधार (भुजा a), ऊँचाई h वाला पिरामिड: तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + (a/2)²)
- आधार क्षेत्रफल: समबाहु त्रिभुज (√3/4)a²; सम षट्भुज (3√3/2)a²
- सम चतुष्फलक (किनारा a): आयतन = a³/(6√2), TSA = √3a²
- n भुजा आधार वाला प्रिज़्म: फलक n + 2, शीर्ष 2n, किनारे 3n
- n भुजा आधार वाला पिरामिड: फलक n + 1, शीर्ष n + 1, किनारे 2n (ऑयलर: F + V − E = 2)
⚠️ Exam Traps:
- पिरामिड के LSA में तिर्यक ऊँचाई लगती है, आयतन में ऊर्ध्वाधर ऊँचाई।
- समान आधार व ऊँचाई: पिरामिड का आयतन = प्रिज़्म का ⅓ (जैसे शंकु = बेलन का ⅓)।
📌 3. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. त्रिज्या 21 cm और ऊँचाई 6 cm वाले बेलन का आयतन है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (B)
हल: πr²h = 22/7 × 21² × 6 = 8316 cm³।
हल: πr²h = 22/7 × 21² × 6 = 8316 cm³।
Q2. त्रिज्या 5 cm और ऊँचाई 12 cm वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (C)
हल: l = √(5² + 12²) = 13; πrl = 22/7 × 5 × 13 = 204.29 cm²।
हल: l = √(5² + 12²) = 13; πrl = 22/7 × 5 × 13 = 204.29 cm²।
Q3. 14 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (D)
हल: (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 2744 = 11498.67 cm³।
हल: (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 2744 = 11498.67 cm³।
Q4. एक घन का आयतन 1000 cm³ है। उसका विकर्ण है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: भुजा = ∛1000 = 10; विकर्ण = a√3 = 10√3 cm।
हल: भुजा = ∛1000 = 10; विकर्ण = a√3 = 10√3 cm।
Q5. 16 m × 7 m × 4 m माप वाले घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: 2(lb + bh + hl) = 2(112 + 28 + 64) = 408 m²।
हल: 2(lb + bh + hl) = 2(112 + 28 + 64) = 408 m²।
Q6. 9 cm त्रिज्या वाले धातु के गोले को पिघलाकर 3 cm त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: संख्या = (R/r)³ = (9/3)³ = 27।
हल: संख्या = (R/r)³ = (9/3)³ = 27।
Q7. किसी गोले की त्रिज्या 3 गुनी कर दी जाए तो उसका आयतन कितने गुना हो जाएगा? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: V ∝ r³ → 3³ = 27 गुना।
हल: V ∝ r³ → 3³ = 27 गुना।
Q8. 7 cm त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (A)
हल: 3πr² = 3 × 22/7 × 7² = 462 cm²।
हल: 3πr² = 3 × 22/7 × 7² = 462 cm²।
Q9. त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm वाले बेलन का आयतन है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (B)
हल: πr²h = 22/7 × 3.5² × 12 = 462 cm³।
हल: πr²h = 22/7 × 3.5² × 12 = 462 cm³।
Q10. त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (C)
हल: l = √(7² + 24²) = 25; πrl = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm²।
हल: l = √(7² + 24²) = 25; πrl = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm²।
Q11. 7 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (D)
हल: (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 343 = 1437.33 cm³।
हल: (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 343 = 1437.33 cm³।
Q12. एक घन का आयतन 1728 cm³ है। उसका विकर्ण है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: भुजा = ∛1728 = 12; विकर्ण = a√3 = 12√3 cm।
हल: भुजा = ∛1728 = 12; विकर्ण = a√3 = 12√3 cm।
Q13. 13 m × 8 m × 9 m माप वाले घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: 2(lb + bh + hl) = 2(104 + 72 + 117) = 586 m²।
हल: 2(lb + bh + hl) = 2(104 + 72 + 117) = 586 m²।
Q14. किसी गोले की त्रिज्या 2 गुनी कर दी जाए तो उसका आयतन कितने गुना हो जाएगा? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: V ∝ r³ → 2³ = 8 गुना।
हल: V ∝ r³ → 2³ = 8 गुना।
Q15. 3.5 cm त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (D)
हल: 3πr² = 3 × 22/7 × 3.5² = 231/2 cm²।
हल: 3πr² = 3 × 22/7 × 3.5² = 231/2 cm²।
Q16. त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 6 cm वाले बेलन का आयतन है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (A)
हल: πr²h = 22/7 × 7² × 6 = 924 cm³।
हल: πr²h = 22/7 × 7² × 6 = 924 cm³।
Q17. त्रिज्या 14 cm और ऊँचाई 48 cm वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7): Practice
सही उत्तर: (B)
हल: l = √(14² + 48²) = 50; πrl = 22/7 × 14 × 50 = 2200 cm²।
हल: l = √(14² + 48²) = 50; πrl = 22/7 × 14 × 50 = 2200 cm²।
Q18. एक घन का आयतन 216 cm³ है। उसका विकर्ण है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: भुजा = ∛216 = 6; विकर्ण = a√3 = 6√3 cm।
हल: भुजा = ∛216 = 6; विकर्ण = a√3 = 6√3 cm।
Q19. 18 m × 5 m × 9 m माप वाले घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: 2(lb + bh + hl) = 2(90 + 45 + 162) = 594 m²।
हल: 2(lb + bh + hl) = 2(90 + 45 + 162) = 594 m²।
Q20. किसी गोले की त्रिज्या 4 गुनी कर दी जाए तो उसका आयतन कितने गुना हो जाएगा? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: V ∝ r³ → 4³ = 64 गुना।
हल: V ∝ r³ → 4³ = 64 गुना।
Q21. एक त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आधार समकोण त्रिभुज है जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। प्रिज़्म की ऊँचाई 10 cm है। आयतन ज्ञात कीजिए। Practice
सही उत्तर: (C)
हल: आधार = ½ × 6 × 8 = 24 cm² → आयतन = 24 × 10 = 240 cm³।
हल: आधार = ½ × 6 × 8 = 24 cm² → आयतन = 24 × 10 = 240 cm³।
Q22. एक पिरामिड का आधार 10 cm भुजा का वर्ग है और ऊँचाई 12 cm है। इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: तिर्यक ऊँचाई = √(12² + 5²) = 13 → LSA = ½ × 40 × 13 = 260 cm²। (360 = TSA)
हल: तिर्यक ऊँचाई = √(12² + 5²) = 13 → LSA = ½ × 40 × 13 = 260 cm²। (360 = TSA)
Q23. किसी पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल 45 cm² और ऊँचाई 8 cm है। इसका आयतन है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: ⅓ × 45 × 8 = 120 cm³।
हल: ⅓ × 45 × 8 = 120 cm³।
Q24. एक षट्भुजाकार प्रिज़्म में कितने किनारे (edges) होते हैं? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: n = 6 → किनारे = 3n = 18 (फलक 8, शीर्ष 12)।
हल: n = 6 → किनारे = 3n = 18 (फलक 8, शीर्ष 12)।
Q25. एक प्रिज़्म का आधार 4 cm भुजा का समबाहु त्रिभुज है और ऊँचाई 10 cm है। इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: LSA = आधार परिमाप × ऊँचाई = 12 × 10 = 120 cm²। (120 + 8√3 = TSA)
हल: LSA = आधार परिमाप × ऊँचाई = 12 × 10 = 120 cm²। (120 + 8√3 = TSA)