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📌 1. BODMAS नियम
| अक्षर | अर्थ |
|---|---|
| V | Vinculum (रेखा-कोष्ठक) — सबसे पहले |
| B | Brackets: ( ) → { } → [ ] |
| O | Of (का) व घात |
| D, M | भाग व गुणा — बाएँ से दाएँ |
| A, S | जोड़ व घटाव — बाएँ से दाएँ |
✏️ उदाहरण: 48 ÷ 4 × 3 = 12 × 3 = 36 (36 ÷ … नहीं)। "of" भाग से पहले: 48 ÷ 4 of 3 = 48 ÷ 12 = 4।
⚠️ Exam Traps:
- ÷ और × बराबर प्राथमिकता के हैं — जो पहले आए वह पहले।
📌 2. घातांक के नियम
📘 सूत्र:
- am × an = am+n
- am ÷ an = am−n
- (am)n = amn
- a0 = 1 (a ≠ 0), a−n = 1/an
- ap/q = q√(ap)
- (ab)n = anbn; यदि ax = ay तो x = y
⚠️ Exam Traps:
- (am)n ≠ amn: (2³)² = 64 पर 23² = 2⁹ = 512।
📌 3. करणी व वर्गमूल
📘 सूत्र:
- √a × √b = √(ab); √a/√b = √(a/b)
- परिमेयकरण: 1/(√a + √b) = (√a − √b)/(a − b)
- √(a + 2√b) = √x + √y जहाँ x + y = a, xy = b
- √(x√(x√(x…∞))) = x; √(x + √(x + …)) = n जहाँ n(n − 1) = x
| संख्या | वर्ग | घन |
|---|---|---|
| 11 | 121 | 1331 |
| 12 | 144 | 1728 |
| 13 | 169 | 2197 |
| 14 | 196 | 2744 |
| 15 | 225 | 3375 |
| 16 | 256 | 4096 |
| 17 | 289 | 4913 |
| 18 | 324 | 5832 |
| 19 | 361 | 6859 |
| 25 | 625 | 15625 |
💡 शॉर्टकट ट्रिक: पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी 2, 3, 7, 8 नहीं होता। √ का अनुमान: √50 ≈ 7.07।
📌 4. सर्वसमिकाओं से त्वरित सरलीकरण
📘 सूत्र:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- (a³ + b³)/(a² − ab + b²) = a + b
✏️ उदाहरण: (997)² = (1000 − 3)² = 1000000 − 6000 + 9 = 994009।
आवर्ती दशमलव
- 0.ab̅ (दोनों आवर्ती) = ab/99; 0.ab̅ (केवल b आवर्ती) = (ab − a)/90
📌 5. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. 135 ÷ 9 × 3 − 5 का मान है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: बाएँ से दाएँ: 135 ÷ 9 = 15; × 3 = 45; − 5 = 40।
हल: बाएँ से दाएँ: 135 ÷ 9 = 15; × 3 = 45; − 5 = 40।
Q2. यदि 23 × 27 ÷ 26 = 2x, तो x = ? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: घातें जोड़ें-घटाएँ: 3 + 7 − 6 = 4।
हल: घातें जोड़ें-घटाएँ: 3 + 7 − 6 = 4।
Q3. (16)3/4 का मान है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: 16 = 24 → (24)3/4 = 23 = 8।
हल: 16 = 24 → (24)3/4 = 23 = 8।
Q4. (1001)² का मान है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: (1000 + 1)² = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001।
हल: (1000 + 1)² = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001।
Q5. (√13 + √11) / (√13 − √11) का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होता है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: अंश-हर को (√13 + √11) से गुणा करें: (√13 + √11)²/(13 − 11) = (24 + 2√143)/2।
हल: अंश-हर को (√13 + √11) से गुणा करें: (√13 + √11)²/(13 − 11) = (24 + 2√143)/2।
Q6. 120 ÷ 5 of 4 + 4 = ? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: 'of' पहले: 5 of 4 = 20; 120 ÷ 20 = 6; + 4 = 10।
हल: 'of' पहले: 5 of 4 = 20; 120 ÷ 20 = 6; + 4 = 10।
Q7. (2/5)−3 का मान है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: ऋणात्मक घात भिन्न को उलट देती है: (5/2)3 = 125/8।
हल: ऋणात्मक घात भिन्न को उलट देती है: (5/2)3 = 125/8।
Q8. (76² − 11²) ÷ (76 − 11) = ? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: a² − b² = (a + b)(a − b) → उत्तर = a + b = 76 + 11 = 87।
हल: a² − b² = (a + b)(a − b) → उत्तर = a + b = 76 + 11 = 87।
Q9. (90³ − 34³) ÷ (90² + 90×34 + 34²) का मान है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: a³ − b³ = (a − b) × (दिया गया कोष्ठक) → उत्तर = 90 − 34 = 56।
हल: a³ − b³ = (a − b) × (दिया गया कोष्ठक) → उत्तर = 90 − 34 = 56।
Q10. √(132 + √(132 + √(132 + …∞))) का मान है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: मान y मानें: y² = 132 + y → y² − y − 132 = 0 → (y − 12)(y + 11) = 0 → y = 12।
हल: मान y मानें: y² = 132 + y → y² − y − 132 = 0 → (y − 12)(y + 11) = 0 → y = 12।
Q11. 0.2666… (अर्थात 0.26̅) का भिन्न रूप है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: 0.ab̅ = (ab − a)/90 = (26 − 2)/90 = 24/90 = 4/15।
हल: 0.ab̅ = (ab − a)/90 = (26 − 2)/90 = 24/90 = 4/15।
Q12. √8281 का मान है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: 8281 का इकाई अंक 1 → वर्गमूल का इकाई अंक 1, 9; 90² = 8100 के पास → 91।
हल: 8281 का इकाई अंक 1 → वर्गमूल का इकाई अंक 1, 9; 90² = 8100 के पास → 91।
Q13. यदि 22x − 3 = 512, तो x = ? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: 512 = 29 → 2x − 3 = 9 → x = 6।
हल: 512 = 29 → 2x − 3 = 9 → x = 6।
Q14. 288 ÷ 9 × 4 − 6 का मान है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: बाएँ से दाएँ: 288 ÷ 9 = 32; × 4 = 128; − 6 = 122।
हल: बाएँ से दाएँ: 288 ÷ 9 = 32; × 4 = 128; − 6 = 122।
Q15. यदि 24 × 26 ÷ 26 = 2x, तो x = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: घातें जोड़ें-घटाएँ: 4 + 6 − 6 = 4।
हल: घातें जोड़ें-घटाएँ: 4 + 6 − 6 = 4।
Q16. (97)² का मान है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: (100 − 3)² = 10000 − 600 + 9 = 9409।
हल: (100 − 3)² = 10000 − 600 + 9 = 9409।
Q17. (√3 + √2) / (√3 − √2) का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होता है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: अंश-हर को (√3 + √2) से गुणा करें: (√3 + √2)²/(3 − 2) = (5 + 2√6)/1।
हल: अंश-हर को (√3 + √2) से गुणा करें: (√3 + √2)²/(3 − 2) = (5 + 2√6)/1।
Q18. 72 ÷ 6 of 4 + 3 = ? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: 'of' पहले: 6 of 4 = 24; 72 ÷ 24 = 3; + 3 = 6।
हल: 'of' पहले: 6 of 4 = 24; 72 ÷ 24 = 3; + 3 = 6।
Q19. (2/3)−2 का मान है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: ऋणात्मक घात भिन्न को उलट देती है: (3/2)2 = 9/4।
हल: ऋणात्मक घात भिन्न को उलट देती है: (3/2)2 = 9/4।
Q20. (66² − 51²) ÷ (66 − 51) = ? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: a² − b² = (a + b)(a − b) → उत्तर = a + b = 66 + 51 = 117।
हल: a² − b² = (a + b)(a − b) → उत्तर = a + b = 66 + 51 = 117।