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02 Quantitative Aptitude (Maths) — Common Notes 🕒 Updated 2026-10-17
Common Notes SSC CGL · CHSL · Police · Bank · Railway अध्याय 02

➗ महत्तम व लघुत्तम समापवर्त्य (HCF & LCM)

HCF-LCM निकालने की विधियाँ, HCF × LCM संबंध, भिन्नों का HCF/LCM, शेषफल वाले प्रश्न, घंटियाँ-लाइटें व वर्गाकार टाइलें।

📌 1. मूल अवधारणा व विधियाँ

  • HCF (महत्तम समापवर्तक) = वह सबसे बड़ी संख्या जो सभी दी गई संख्याओं को पूरा-पूरा विभाजित करे।
  • LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) = वह सबसे छोटी संख्या जो सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य हो।
  • अभाज्य गुणनखंड विधि: HCF = उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घात; LCM = सभी अभाज्यों की अधिकतम घात।
  • भाग विधि (Euclid): बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें, फिर भाजक को शेषफल से, जब तक शेष 0 न हो। अंतिम भाजक = HCF।
✏️ उदाहरण: 36 = 2²×3², 60 = 2²×3×5 → HCF = 2²×3 = 12, LCM = 2²×3²×5 = 180।

📌 2. महत्वपूर्ण सूत्र

📘 सूत्र:
  • दो संख्याओं के लिए: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या (तीन संख्याओं पर लागू नहीं)
  • भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM
  • भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF
  • यदि संख्याएँ HCF = h वाली हों तो उन्हें hx, hy लिखें जहाँ x, y सह-अभाज्य हों
  • HCF हमेशा LCM का गुणनखंड होता है
⚠️ Exam Traps:
  • HCF, LCM को विभाजित न करे तो वह जोड़ी संभव नहीं (जैसे HCF 12, LCM 160 असंभव)।
  • सह-अभाज्य संख्याओं का LCM = उनका गुणनफल।

📌 3. शेषफल व व्यावहारिक प्रश्न

स्थितिउत्तर
सबसे बड़ी संख्या जो a, b, c को भाग दे और हर बार शेष r बचेHCF(a−r, b−r, c−r)
सबसे बड़ी संख्या जो a, b, c को भाग देकर क्रमशः शेष p, q, s देHCF(a−p, b−q, c−s)
सबसे बड़ी संख्या जो a, b, c को भाग देने पर समान शेष देHCF(|a−b|, |b−c|, |c−a|)
सबसे छोटी संख्या जिसे x, y, z से भाग देने पर हर बार शेष rLCM(x, y, z) + r
सबसे छोटी संख्या जिसमें (भाजक − शेष) = k सबके लिए समानLCM(x, y, z) − k
घंटियाँ/लाइटें एक साथ कब बजेंगीLCM
वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्याक्षेत्रफल ÷ (HCF)²
💡 शॉर्टकट ट्रिक: "सबसे बड़ा/अधिकतम माप/बराबर टुकड़े" → HCF; "सबसे छोटा/फिर एक साथ/न्यूनतम" → LCM।

📌 4. Practice MCQs

📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. दो संख्याओं का HCF 4 और LCM 80 है। यदि एक संख्या 16 है तो दूसरी संख्या है: Practice
(A) 24
(B) 20
(C) 16
(D) 21
सही उत्तर: (B)
हल: दूसरी संख्या = HCF × LCM ÷ पहली = 4 × 80 ÷ 16 = 20।
Q2. 144 और 72 का HCF है: Practice
(A) 144
(B) 36
(C) 72
(D) 216
सही उत्तर: (C)
हल: अभाज्य गुणनखंड से उभयनिष्ठ न्यूनतम घातें लेने पर HCF(144, 72) = 72।
Q3. 6/7 और 3/5 का LCM है: Practice
(A) 3/35
(B) 6/35
(C) 18/35
(D) 6
सही उत्तर: (D)
हल: LCM = LCM(अंश)/HCF(हर) = 6/1।
Q4. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 115, 310 और 401 को भाग देने पर हर बार शेषफल 11 बचे। Practice
(A) 13
(B) 26
(C) 12
(D) 11
सही उत्तर: (A)
हल: HCF(115−11, 310−11, 401−11) = HCF(104, 299, 390) = 13।
Q5. वह सबसे छोटी संख्या जिसे 4, 6 और 8 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 बचे: Practice
(A) 24
(B) 27
(C) 21
(D) 51
सही उत्तर: (B)
हल: LCM(4, 6, 8) = 24; संख्या = 24 + 3 = 27।
Q6. तीन घंटियाँ क्रमशः 6, 8 और 12 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे 9:00 बजे एक साथ बजीं, तो अगली बार एक साथ कितने मिनट बाद बजेंगी? Practice
(A) 48
(B) 12
(C) 24
(D) 26
सही उत्तर: (C)
हल: LCM(6, 8, 12) = 24 मिनट।
Q7. 225 सेमी × 360 सेमी के फ़र्श पर बिना काटे समान वर्गाकार टाइलें लगानी हैं। न्यूनतम कितनी टाइलें लगेंगी? Practice
(A) 80
(B) 45
(C) 160
(D) 40
सही उत्तर: (D)
हल: टाइल की भुजा = HCF(225, 360) = 45 सेमी। टाइलें = (225×360)/(45×45) = 5 × 8 = 40।
Q8. वह सबसे छोटी संख्या जिसे 9, 10, 15 से भाग देने पर क्रमशः 2, 3, 8 शेष बचे: Practice
(A) 83
(B) 97
(C) 90
(D) 82
सही उत्तर: (A)
हल: हर बार (भाजक − शेष) = 7 समान है। संख्या = LCM − 7 = 90 − 7 = 83।
Q9. दो संख्याओं का अनुपात 4 : 5 है और उनका LCM 100 है। संख्याओं का योग है: Practice
(A) 50
(B) 45
(C) 40
(D) 100
सही उत्तर: (B)
हल: संख्याएँ 4k, 5k; LCM = 20k = 100 → k = 5। योग = 9k = 45।
Q10. वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिससे 65, 142 और 175 को भाग देने पर समान शेषफल बचता है? Practice
(A) 22
(B) 13
(C) 11
(D) 9
सही उत्तर: (C)
हल: HCF(142−65, 175−142, 175−65) = HCF(77, 33, 110) = 11।
Q11. 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 15, 25 और 30 प्रत्येक से विभाज्य हो: Practice
(A) 9750
(B) 9600
(C) 9849
(D) 9900
सही उत्तर: (D)
हल: LCM = 150; 9999 ÷ 150 का शेष = 99; 9999 − 99 = 9900।
Q12. ऐसी कितनी संख्या-जोड़ियाँ संभव हैं जिनका HCF 16 और LCM 1680 हो? Practice
(A) 4
(B) 5
(C) 8
(D) 3
सही उत्तर: (A)
हल: संख्याएँ 16x, 16y; xy = 1680/16 = 105, x और y सह-अभाज्य। संभव जोड़ियाँ: (16,1680), (48,560), (80,336), (112,240) → 4।
Q13. दो संख्याओं का HCF 16 और LCM 240 है। यदि एक संख्या 48 है तो दूसरी संख्या है: Practice
(A) 96
(B) 80
(C) 15
(D) 64
सही उत्तर: (B)
हल: दूसरी संख्या = HCF × LCM ÷ पहली = 16 × 240 ÷ 48 = 80।
Q14. 72 और 36 का HCF है: Practice
(A) 72
(B) 18
(C) 36
(D) 108
सही उत्तर: (C)
हल: अभाज्य गुणनखंड से उभयनिष्ठ न्यूनतम घातें लेने पर HCF(72, 36) = 36।
Q15. 9/10 और 8/15 का LCM है: Practice
(A) 1/30
(B) 12/5
(C) 12/25
(D) 72/5
सही उत्तर: (D)
हल: LCM = LCM(अंश)/HCF(हर) = 72/5।
Q16. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 860, 934 और 1156 को भाग देने पर हर बार शेषफल 9 बचे। Practice
(A) 37
(B) 74
(C) 36
(D) 9
सही उत्तर: (A)
हल: HCF(860−9, 934−9, 1156−9) = HCF(851, 925, 1147) = 37।
Q17. वह सबसे छोटी संख्या जिसे 5, 6 और 8 से भाग देने पर हर बार शेषफल 4 बचे: Practice
(A) 120
(B) 124
(C) 116
(D) 244
सही उत्तर: (B)
हल: LCM(5, 6, 8) = 120; संख्या = 120 + 4 = 124।
Q18. तीन घंटियाँ क्रमशः 4, 6 और 9 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे 9:00 बजे एक साथ बजीं, तो अगली बार एक साथ कितने मिनट बाद बजेंगी? Practice
(A) 24
(B) 72
(C) 36
(D) 18
सही उत्तर: (C)
हल: LCM(4, 6, 9) = 36 मिनट।
Q19. 180 सेमी × 240 सेमी के फ़र्श पर बिना काटे समान वर्गाकार टाइलें लगानी हैं। न्यूनतम कितनी टाइलें लगेंगी? Practice
(A) 24
(B) 15
(C) 48
(D) 12
सही उत्तर: (D)
हल: टाइल की भुजा = HCF(180, 240) = 60 सेमी। टाइलें = (180×240)/(60×60) = 3 × 4 = 12।
Q20. वह सबसे छोटी संख्या जिसे 9, 10, 15 से भाग देने पर क्रमशः 4, 5, 10 शेष बचे: Practice
(A) 85
(B) 95
(C) 90
(D) 84
सही उत्तर: (A)
हल: हर बार (भाजक − शेष) = 5 समान है। संख्या = LCM − 5 = 90 − 5 = 85।

📝 Practice questions

Quantitative Aptitude — Practice MCQs (Bilingual) Ch 2: HCF & LCM
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Practice MCQs SF Prep द्वारा तैयार (PYQ नहीं)। सभी उत्तर गणना द्वारा जाँचे गए।