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📌 1. अनुपात की मूल बातें
- a : b = a/b (समान इकाई में); b ≠ 0।
- मिश्र अनुपात: a:b और c:d का = ac : bd। द्विवर्ग अनुपात = a² : b²; वर्गमूल अनुपात = √a : √b।
- संयोजन: A:B = 2:3, B:C = 4:5 → B को समान करें: A:B:C = 8:12:15।
📘 सूत्र:
- a : b : c में राशि S का बँटवारा: A = S × a/(a + b + c)
- चतुर्थ समानुपाती (a, b, c) = bc/a
- तृतीय समानुपाती (a, b) = b²/a
- मध्य समानुपाती (a, b) = √(ab)
📌 2. अनुप्रयोग
- सिक्के: ₹1, 50 पैसे, 25 पैसे संख्या अनुपात a:b:c → मूल्य अनुपात = a : b/2 : c/4।
- आय-व्यय: आय a:b, व्यय c:d, बचत S प्रत्येक की → (ax − cy) = (bx − dy) = S।
- मिलाना: a:b में x जोड़ने पर c:d → (a·k + x)/(b·k + x) = c/d।
⚠️ Exam Traps:
- अनुपात के पद संख्याएँ हैं, वास्तविक मान नहीं — k (गुणक) अवश्य लगाएँ।
📌 3. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. 2 और 8 का तृतीय समानुपाती है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: b²/a = 8²/2 = 32।
हल: b²/a = 8²/2 = 32।
Q2. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 1 : 3 : 4 के अनुपात में हैं और कुल मूल्य ₹140 है। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: मूल्य अनुपात = 1 : 1.5 : 1 (योग 3.5) → k = 140/3.5 = 40; 50 पैसे के सिक्के = 3 × 40 = 120।
हल: मूल्य अनुपात = 1 : 1.5 : 1 (योग 3.5) → k = 140/3.5 = 40; 50 पैसे के सिक्के = 3 × 40 = 120।
Q3. दो संख्याएँ 2 : 3 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में 6 जोड़ने पर अनुपात 16 : 21 हो जाता है। बड़ी संख्या है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: (2k + 6)/(3k + 6) = 16/21 → k = 5; बड़ी संख्या = 3k = 15।
हल: (2k + 6)/(3k + 6) = 16/21 → k = 5; बड़ी संख्या = 3k = 15।
Q4. 4 : 5 का द्विवर्ग (duplicate) अनुपात है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: द्विवर्ग अनुपात = a² : b² = 16 : 25।
हल: द्विवर्ग अनुपात = a² : b² = 16 : 25।
Q5. y, x के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है। जब x = 2, y = 8। x = 9 होने पर y = ? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: y = kx² → 8 = k × 4 → k = 2; y = 2 × 9² = 162।
हल: y = kx² → 8 = k × 4 → k = 2; y = 2 × 9² = 162।
Q6. ₹2800 को A, B, C में 2 : 5 : 7 के अनुपात में बाँटा गया। C का हिस्सा है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: C = 2800 × 7/14 = ₹1400।
हल: C = 2800 × 7/14 = ₹1400।
Q7. 4 और 6 का तृतीय समानुपाती है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: b²/a = 6²/4 = 9।
हल: b²/a = 6²/4 = 9।
Q8. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 1 : 3 : 4 के अनुपात में हैं और कुल मूल्य ₹70 है। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: मूल्य अनुपात = 1 : 1.5 : 1 (योग 3.5) → k = 70/3.5 = 20; 50 पैसे के सिक्के = 3 × 20 = 60।
हल: मूल्य अनुपात = 1 : 1.5 : 1 (योग 3.5) → k = 70/3.5 = 20; 50 पैसे के सिक्के = 3 × 20 = 60।
Q9. दो संख्याएँ 5 : 8 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में 4 जोड़ने पर अनुपात 9 : 14 हो जाता है। बड़ी संख्या है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: (5k + 4)/(8k + 4) = 9/14 → k = 10; बड़ी संख्या = 8k = 80।
हल: (5k + 4)/(8k + 4) = 9/14 → k = 10; बड़ी संख्या = 8k = 80।
Q10. 5 : 6 का द्विवर्ग (duplicate) अनुपात है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: द्विवर्ग अनुपात = a² : b² = 25 : 36।
हल: द्विवर्ग अनुपात = a² : b² = 25 : 36।
Q11. y, x के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है। जब x = 4, y = 48। x = 12 होने पर y = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: y = kx² → 48 = k × 16 → k = 3; y = 3 × 12² = 432।
हल: y = kx² → 48 = k × 16 → k = 3; y = 3 × 12² = 432।
Q12. 80 लीटर मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4 : 1 है। अनुपात 2 : 3 करने के लिए कितना पानी मिलाना होगा? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: दूध = 64 L, पानी = 16 L। 64/(16 + x) = 2/3 → x = 80 L।
हल: दूध = 64 L, पानी = 16 L। 64/(16 + x) = 2/3 → x = 80 L।
Q13. ₹1200 को A, B, C में 1 : 2 : 3 के अनुपात में बाँटा गया। C का हिस्सा है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: C = 1200 × 3/6 = ₹600।
हल: C = 1200 × 3/6 = ₹600।
Q14. 16 और 25 का मध्य समानुपाती है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: √(16 × 25) = √400 = 20।
हल: √(16 × 25) = √400 = 20।
Q15. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 1 : 2 : 4 के अनुपात में हैं और कुल मूल्य ₹30 है। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: मूल्य अनुपात = 1 : 1 : 1 (योग 3) → k = 30/3 = 10; 50 पैसे के सिक्के = 2 × 10 = 20।
हल: मूल्य अनुपात = 1 : 1 : 1 (योग 3) → k = 30/3 = 10; 50 पैसे के सिक्के = 2 × 10 = 20।
Q16. A और B की आय का अनुपात 4 : 5 और व्यय का अनुपात 4 : 7 है। यदि दोनों ₹12000 बचाते हैं, तो A की आय है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: 4x − 4y = 5x − 7y → x = 4500, y = 1500 (बचत 12000 से)। A की आय = 4x = ₹18000।
हल: 4x − 4y = 5x − 7y → x = 4500, y = 1500 (बचत 12000 से)। A की आय = 4x = ₹18000।
Q17. दो संख्याएँ 5 : 8 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में 9 जोड़ने पर अनुपात 29 : 41 हो जाता है। बड़ी संख्या है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: (5k + 9)/(8k + 9) = 29/41 → k = 4; बड़ी संख्या = 8k = 32।
हल: (5k + 9)/(8k + 9) = 29/41 → k = 4; बड़ी संख्या = 8k = 32।
Q18. 3 : 7 का द्विवर्ग (duplicate) अनुपात है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: द्विवर्ग अनुपात = a² : b² = 9 : 49।
हल: द्विवर्ग अनुपात = a² : b² = 9 : 49।
Q19. y, x के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है। जब x = 3, y = 18। x = 12 होने पर y = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: y = kx² → 18 = k × 9 → k = 2; y = 2 × 12² = 288।
हल: y = kx² → 18 = k × 9 → k = 2; y = 2 × 12² = 288।
Q20. ₹2800 को A, B, C में 2 : 5 : 7 के अनुपात में बाँटा गया। B का हिस्सा है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: B = 2800 × 5/14 = ₹1000।
हल: B = 2800 × 5/14 = ₹1000।