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📌 1. संख्याओं के प्रकार
| प्रकार | परिभाषा | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्राकृत (N) | गिनती की संख्याएँ, 1 से शुरू | 1, 2, 3, … |
| पूर्ण (W) | 0 सहित प्राकृत संख्याएँ | 0, 1, 2, … |
| पूर्णांक (Z) | धनात्मक, ऋणात्मक व शून्य | …, −2, −1, 0, 1, … |
| परिमेय (Q) | p/q रूप, q ≠ 0; दशमलव सांत या आवर्ती | 3/4, 0.333…, −5 |
| अपरिमेय | p/q रूप में नहीं; दशमलव असांत-अनावर्ती | √2, π, √3 |
| अभाज्य (Prime) | ठीक दो गुणनखंड: 1 और स्वयं | 2, 3, 5, 7, 11 |
| भाज्य (Composite) | दो से अधिक गुणनखंड | 4, 6, 8, 9 |
| सह-अभाज्य (Co-prime) | जिनका HCF = 1 | (8, 15), (4, 9) |
- 1 न अभाज्य है न भाज्य। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
- 1 से 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं; 1 से 50 तक 15।
- अभाज्य जाँच: √n तक की अभाज्य संख्याओं से भाग दें। जैसे 221 = 13 × 17 (अभाज्य नहीं)।
⚠️ Exam Traps:
- 0 एक पूर्ण संख्या है पर प्राकृत नहीं।
- π = 22/7 केवल सन्निकट मान है; π अपरिमेय है।
- दो अपरिमेय संख्याओं का योग/गुणनफल परिमेय हो सकता है: √2 × √2 = 2।
📌 2. विभाज्यता के नियम
| संख्या | नियम |
|---|---|
| 2 | इकाई अंक सम (0,2,4,6,8) |
| 3 / 9 | अंकों का योग 3 / 9 से विभाज्य |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य |
| 5 | इकाई अंक 0 या 5 |
| 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य |
| 11 | (विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों का योग) = 0 या 11 का गुणज |
| 7 / 13 | इकाई अंक का 2 गुना घटाएँ (7) / 4 गुना जोड़ें (13) और जाँचें |
| 12, 15, 18, 24… | सह-अभाज्य गुणनखंडों से जाँचें: 12 = 3×4, 24 = 3×8, 18 = 2×9 |
⚠️ Exam Traps:
- 24 के लिए 4 × 6 से जाँचना गलत है (4 व 6 सह-अभाज्य नहीं); 3 × 8 लें।
✏️ उदाहरण: 5k4 को 9 से विभाज्य होने के लिए k? 5+k+4 = 9+k → k = 0 या 9।
📌 3. इकाई अंक (Unit Digit) व चक्र
| अंतिम अंक | चक्र | चक्र-लंबाई |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | हमेशा वही अंक | 1 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 4 | 4, 6 (विषम घात 4, सम घात 6) | 2 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
| 9 | 9, 1 (विषम 9, सम 1) | 2 |
💡 शॉर्टकट ट्रिक: घात को 4 से भाग दें, शेषफल r लें (r = 0 हो तो 4 लें) और अंतिम अंक^r का इकाई अंक निकालें।
✏️ उदाहरण: 783: 83 ÷ 4 शेष 3 → 7³ = 343 → इकाई अंक 3।
📌 4. शेषफल, गुणनखंड व शून्य
📘 सूत्र:
- भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
- यदि N = pa qb rc तो गुणनखंडों की संख्या = (a+1)(b+1)(c+1)
- गुणनखंडों का योग = (p0+…+pa)(q0+…+qb)…
- n! में अंत के शून्य = [n/5] + [n/25] + [n/125] + …
- (an + bn) विषम n पर (a + b) से विभाज्य; (an − bn) हमेशा (a − b) से और सम n पर (a + b) से भी
- पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n+1)/2; वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6; घनों का योग = [n(n+1)/2]²
✏️ उदाहरण: किसी संख्या को 899 से भाग देने पर शेष 63; उसी को 29 से भाग देने पर शेष? 899 = 29 × 31, अतः शेष = 63 mod 29 = 5।
⚠️ Exam Traps:
- शेषफल ऋणात्मक नहीं होता; −3 mod 7 = 4।
- 100! के अंत में शून्य = 20 + 4 = 24 (केवल 20 नहीं)।
📌 5. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. 27173 का इकाई अंक क्या है? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: 7 का चक्र: 7, 9, 3, 1। 173 ÷ 4 का शेष = 1 → 71 का इकाई अंक = 7।
हल: 7 का चक्र: 7, 9, 3, 1। 173 ÷ 4 का शेष = 1 → 71 का इकाई अंक = 7।
Q2. 256! के अंत में कितने शून्य होंगे? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: शून्य = [256/5] + [256/25] + … = 51 + 10 + 2 = 63।
हल: शून्य = [256/5] + [256/25] + … = 51 + 10 + 2 = 63।
Q3. 14 के कुल गुणनखंडों (factors) की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: 14 = 21 × 71 → गुणनखंड = (1+1) × (1+1) = 4।
हल: 14 = 21 × 71 → गुणनखंड = (1+1) × (1+1) = 4।
Q4. यदि 18*69 संख्या 11 से विभाज्य है, तो * का मान है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: * = 4 रखने पर विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों का योग 0 या 11 का गुणज बनता है; अतः 18469 11 से विभाज्य है।
हल: * = 4 रखने पर विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों का योग 0 या 11 का गुणज बनता है; अतः 18469 11 से विभाज्य है।
Q5. किसी संख्या को 323 से भाग देने पर शेषफल 115 आता है। उसी संख्या को 19 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: 323 = 19 × 17, इसलिए N = 323k + 115। 323k, 19 से विभाज्य है → शेष = 115 mod 19 = 1।
हल: 323 = 19 × 17, इसलिए N = 323k + 115। 323k, 19 से विभाज्य है → शेष = 115 mod 19 = 1।
Q6. 1 से 20 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210।
हल: n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210।
Q7. निम्न में से कौन-सी अभाज्य संख्या है? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: 269 का √269 तक की किसी अभाज्य संख्या से भाग नहीं जाता, अतः यह अभाज्य है। अन्य: 187 = 11 × 17, 437 = 19 × 23, 119 = 7 × 17।
हल: 269 का √269 तक की किसी अभाज्य संख्या से भाग नहीं जाता, अतः यह अभाज्य है। अन्य: 187 = 11 × 17, 437 = 19 × 23, 119 = 7 × 17।
Q8. (299 + 1) निश्चित रूप से किससे विभाज्य है? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: विषम n पर aⁿ + bⁿ, (a + b) से विभाज्य है → 29 + 1 = 30।
हल: विषम n पर aⁿ + bⁿ, (a + b) से विभाज्य है → 29 + 1 = 30।
Q9. 4955 × 5422 × 9552 का इकाई अंक है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: अलग-अलग इकाई अंक: 9, 6, 5। गुणनफल 270 का इकाई अंक = 0।
हल: अलग-अलग इकाई अंक: 9, 6, 5। गुणनफल 270 का इकाई अंक = 0।
Q10. संख्या 48377* को 9 से विभाज्य बनाने के लिए * का न्यूनतम मान है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: ज्ञात अंकों का योग = 29। 9 का अगला गुणज बनाने हेतु 7 जोड़ना होगा।
हल: ज्ञात अंकों का योग = 29। 9 का अगला गुणज बनाने हेतु 7 जोड़ना होगा।
Q11. 0.2777… को p/q रूप में लिखें: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: आवर्ती/सांत दशमलव को भिन्न में बदलने पर 0.2777… = 5/18।
हल: आवर्ती/सांत दशमलव को भिन्न में बदलने पर 0.2777… = 5/18।
Q12. भाग के एक प्रश्न में भाजक 36, भागफल 16 और शेषफल 1 है। भाज्य ज्ञात करें। Practice
सही उत्तर: (A)
हल: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल = 36 × 16 + 1 = 577।
हल: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल = 36 × 16 + 1 = 577।
Q13. 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 37 से पूर्णतः विभाज्य हो: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: 99999 ÷ 37 का शेष = 25। 99999 − 25 = 99974।
हल: 99999 ÷ 37 का शेष = 25। 99999 − 25 = 99974।
Q14. 1362 का इकाई अंक क्या है? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: 3 का चक्र: 3, 9, 7, 1। 62 ÷ 4 का शेष = 2 → 32 का इकाई अंक = 9।
हल: 3 का चक्र: 3, 9, 7, 1। 62 ÷ 4 का शेष = 2 → 32 का इकाई अंक = 9।
Q15. 125! के अंत में कितने शून्य होंगे? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: शून्य = [125/5] + [125/25] + … = 25 + 5 + 1 = 31।
हल: शून्य = [125/5] + [125/25] + … = 25 + 5 + 1 = 31।
Q16. 75 के कुल गुणनखंडों (factors) की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: 75 = 31 × 52 → गुणनखंड = (1+1) × (2+1) = 6।
हल: 75 = 31 × 52 → गुणनखंड = (1+1) × (2+1) = 6।
Q17. यदि 551*7 संख्या 11 से विभाज्य है, तो * का मान है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: * = 8 रखने पर विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों का योग 0 या 11 का गुणज बनता है; अतः 55187 11 से विभाज्य है।
हल: * = 8 रखने पर विषम स्थानों के अंकों का योग − सम स्थानों का योग 0 या 11 का गुणज बनता है; अतः 55187 11 से विभाज्य है।
Q18. किसी संख्या को 391 से भाग देने पर शेषफल 220 आता है। उसी संख्या को 23 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: 391 = 23 × 17, इसलिए N = 391k + 220। 391k, 23 से विभाज्य है → शेष = 220 mod 23 = 13।
हल: 391 = 23 × 17, इसलिए N = 391k + 220। 391k, 23 से विभाज्य है → शेष = 220 mod 23 = 13।
Q19. पहली 40 विषम प्राकृत संख्याओं का योग है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: n² = 40² = 1600।
हल: n² = 40² = 1600।
Q20. (145 − 1) निश्चित रूप से किससे विभाज्य है? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: aⁿ − bⁿ हमेशा (a − b) से विभाज्य है → 14 − 1 = 13। विषम n पर (a + 1) से नहीं।
हल: aⁿ − bⁿ हमेशा (a − b) से विभाज्य है → 14 − 1 = 13। विषम n पर (a + 1) से नहीं।