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📌 1. त्रिभुज
- तीनों कोणों का योग 180°; बहिष्कोण = दो अंतःसम्मुख कोणों का योग।
- किन्हीं दो भुजाओं का योग > तीसरी भुजा।
- पाइथागोरस: कर्ण² = आधार² + लंब²। त्रिक: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)।
| केंद्र | किसका मिलन | गुण |
|---|---|---|
| केन्द्रक (Centroid) | माध्यिकाएँ | माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है |
| अंतःकेंद्र (Incentre) | कोण समद्विभाजक | ∠BIC = 90° + A/2 |
| परिकेंद्र (Circumcentre) | लंब समद्विभाजक | ∠BOC = 2A |
| लंबकेंद्र (Orthocentre) | शीर्षलंब | ∠BHC = 180° − A |
📘 सूत्र:
- समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात
- समबाहु त्रिभुज: ऊँचाई = (√3/2)a, अंतःत्रिज्या = a/(2√3), परित्रिज्या = a/√3
📌 2. बहुभुज व वृत्त
📘 सूत्र:
- n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतःकोणों का योग = (n − 2) × 180°
- सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण = 360°/n
- विकर्णों की संख्या = n(n − 3)/2
- केंद्र पर कोण = परिधि पर कोण का दोगुना; अर्धवृत्त में कोण = 90°
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180°
- स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है; बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर
- जीवा की केंद्र से दूरी d: (जीवा/2)² + d² = r²
⚠️ Exam Traps:
- ∠BOC (परिकेंद्र) = 2A, पर ∠BIC (अंतःकेंद्र) = 90° + A/2 — दोनों को न मिलाएँ।
📌 3. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. एक सम 20-भुज के प्रत्येक अंतःकोण की माप है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: (n − 2) × 180/n = 18 × 180/20 = 162°।
हल: (n − 2) × 180/n = 18 × 180/20 = 162°।
Q2. एक सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 30° है। उसकी भुजाओं की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: n = 360/30 = 12।
हल: n = 360/30 = 12।
Q3. △ABC में ∠A = 40°। परिकेंद्र O हो तो ∠BOC = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: ∠BOC = 2∠A = 80°।
हल: ∠BOC = 2∠A = 80°।
Q4. एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 8 cm और 15 cm हैं। कर्ण है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: √(8² + 15²) = √289 = 17 cm।
हल: √(8² + 15²) = √289 = 17 cm।
Q5. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 1 : 2 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = 1 : 4।
हल: क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = 1 : 4।
Q6. वृत्त की त्रिज्या 6 cm है और एक बाहरी बिंदु केंद्र से 10 cm दूर है। उस बिंदु से खींची स्पर्श रेखा की लंबाई है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या → √(10² − 6²) = 8 cm।
हल: स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या → √(10² − 6²) = 8 cm।
Q7. चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 80°। ∠C = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: सम्मुख कोणों का योग 180° → ∠C = 180° − 80° = 100°।
हल: सम्मुख कोणों का योग 180° → ∠C = 180° − 80° = 100°।
Q8. 10 भुजाओं वाले बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: n(n − 3)/2 = 10×7/2 = 35।
हल: n(n − 3)/2 = 10×7/2 = 35।
Q9. त्रिभुज के दो अंतःकोण 64° और 63° हैं। तीसरे कोण पर बना बहिष्कोण है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: बहिष्कोण = अंतःसम्मुख कोणों का योग = 127°।
हल: बहिष्कोण = अंतःसम्मुख कोणों का योग = 127°।
Q10. एक सम 8-भुज के प्रत्येक अंतःकोण की माप है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: (n − 2) × 180/n = 6 × 180/8 = 135°।
हल: (n − 2) × 180/n = 6 × 180/8 = 135°।
Q11. एक सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 72° है। उसकी भुजाओं की संख्या है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: n = 360/72 = 5।
हल: n = 360/72 = 5।
Q12. △ABC में ∠A = 80°। परिकेंद्र O हो तो ∠BOC = ? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: ∠BOC = 2∠A = 160°।
हल: ∠BOC = 2∠A = 160°।
Q13. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 3 : 4 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = 9 : 16।
हल: क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = 9 : 16।
Q14. वृत्त की त्रिज्या 9 cm है और एक बाहरी बिंदु केंद्र से 15 cm दूर है। उस बिंदु से खींची स्पर्श रेखा की लंबाई है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या → √(15² − 9²) = 12 cm।
हल: स्पर्श रेखा ⟂ त्रिज्या → √(15² − 9²) = 12 cm।
Q15. चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A = 85°। ∠C = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: सम्मुख कोणों का योग 180° → ∠C = 180° − 85° = 95°।
हल: सम्मुख कोणों का योग 180° → ∠C = 180° − 85° = 95°।
Q16. 12 भुजाओं वाले बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: n(n − 3)/2 = 12×9/2 = 54।
हल: n(n − 3)/2 = 12×9/2 = 54।
Q17. त्रिभुज के दो अंतःकोण 62° और 36° हैं। तीसरे कोण पर बना बहिष्कोण है: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: बहिष्कोण = अंतःसम्मुख कोणों का योग = 98°।
हल: बहिष्कोण = अंतःसम्मुख कोणों का योग = 98°।
Q18. एक सम 10-भुज के प्रत्येक अंतःकोण की माप है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: (n − 2) × 180/n = 8 × 180/10 = 144°।
हल: (n − 2) × 180/n = 8 × 180/10 = 144°।
Q19. एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 14 cm और 48 cm हैं। कर्ण है: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: √(14² + 48²) = √2500 = 50 cm।
हल: √(14² + 48²) = √2500 = 50 cm।
Q20. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 2 : 3 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = 4 : 9।
हल: क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = 4 : 9।