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📌 1. मुख्य सर्वसमिकाएँ
📘 सूत्र:
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- (a + b)² − (a − b)² = 4ab
- (a ± b)³ = a³ ± b³ ± 3ab(a ± b)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
- यदि a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
📌 2. x + 1/x वाले प्रश्न
| यदि x + 1/x = k | तो |
|---|---|
| x² + 1/x² | k² − 2 |
| x³ + 1/x³ | k³ − 3k |
| x⁴ + 1/x⁴ | (k² − 2)² − 2 |
| x − 1/x = k हो तो x² + 1/x² | k² + 2 |
💡 शॉर्टकट ट्रिक: x + 1/x = 2 → x = 1, तब xⁿ + 1/xⁿ = 2; x + 1/x = −2 → x = −1।
📌 3. समीकरण व शेषफल प्रमेय
📘 सूत्र:
- ax² + bx + c = 0: मूलों का योग = −b/a, गुणनफल = c/a
- मूल = [−b ± √(b² − 4ac)]/2a; D = b² − 4ac > 0 वास्तविक भिन्न, = 0 बराबर, < 0 काल्पनिक
- p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल = p(a)
- a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂: अद्वितीय हल यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
⚠️ Exam Traps:
- x² + 1/x² निकालते समय 2 घटाना (x + 1/x) में और जोड़ना (x − 1/x) में — उलटा न करें।
📌 4. रैखिक समीकरणों के ग्राफ
ax + by + c = 0 का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होता है। रेखा पर स्थित हर बिंदु (x, y) समीकरण को संतुष्ट करता है।
📘 सूत्र:
- x-अंतःखंड (y = 0 रखें) = −c/a; y-अंतःखंड (x = 0 रखें) = −c/b
- अंतःखंड रूप: x/p + y/q = 1 (p, q = x व y अंतःखंड)
- ढाल (slope) m = −a/b; y = mx + c रूप में m = ढाल, c = y-अंतःखंड
- दो बिंदुओं से ढाल = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
- रेखा व दोनों अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × |p × q| = c²/(2|ab|)
- x = k: y-अक्ष के समांतर रेखा; y = k: x-अक्ष के समांतर; x = 0 स्वयं y-अक्ष है, y = 0 स्वयं x-अक्ष
| शर्त (a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0) | ग्राफ | हल |
|---|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | एक बिंदु पर काटती रेखाएँ | अद्वितीय हल |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | समांतर रेखाएँ | कोई हल नहीं |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | संपाती (एक ही) रेखा | अनंत हल |
⚠️ Exam Traps:
- 3x + 4y = 12 में x-अंतःखंड 4 है (12/3), 3 नहीं — y = 0 रखकर निकालें।
- दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु = दोनों समीकरणों का साथ-साथ हल।
📌 5. Practice MCQs
📝 Practice MCQs (SF Prep द्वारा तैयार — PYQ नहीं)
Q1. यदि x + 1/x = 5, तो x² + 1/x² = ? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: (x + 1/x)² − 2 = 25 − 2 = 23।
हल: (x + 1/x)² − 2 = 25 − 2 = 23।
Q2. यदि x + 1/x = 6, तो x³ + 1/x³ = ? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: k³ − 3k = 216 − 18 = 198।
हल: k³ − 3k = 216 − 18 = 198।
Q3. यदि x − 1/x = 6, तो x² + 1/x² = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: (x − 1/x)² + 2 = 36 + 2 = 38।
हल: (x − 1/x)² + 2 = 36 + 2 = 38।
Q4. यदि a = 8, b = 3, c = -11, तो a³ + b³ + c³ का मान है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: a + b + c = 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc = 3×8×3×(-11) = -792।
हल: a + b + c = 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc = 3×8×3×(-11) = -792।
Q5. यदि a + b = 15 और ab = 19, तो a² + b² = ? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: (a + b)² − 2ab = 225 − 38 = 187।
हल: (a + b)² − 2ab = 225 − 38 = 187।
Q6. p(x) = 3x³ − 4x − 8 को (x − 2) से भाग देने पर शेषफल है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: शेषफल = p(2) = 8।
हल: शेषफल = p(2) = 8।
Q7. समीकरण x² − 8x + 15 = 0 के मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः हैं: Practice
सही उत्तर: (D)
हल: योग = −b/a = 8, गुणनफल = c/a = 15 (मूल 3, 5)।
हल: योग = −b/a = 8, गुणनफल = c/a = 15 (मूल 3, 5)।
Q8. यदि 5x + 3y = 69 और 5x − 3y = 21, तो x + y = ? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: हल करने पर x = 9, y = 8 → x + y = 17।
हल: हल करने पर x = 9, y = 8 → x + y = 17।
Q9. यदि x + 1/x = 4, तो x⁴ + 1/x⁴ = ? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: x² + 1/x² = 14; x⁴ + 1/x⁴ = 14² − 2 = 194।
हल: x² + 1/x² = 14; x⁴ + 1/x⁴ = 14² − 2 = 194।
Q10. यदि a + b = 5 और ab = 3, तो a³ + b³ = ? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 45 = 80।
हल: (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 45 = 80।
Q11. यदि x + 1/x = 4, तो x² + 1/x² = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: (x + 1/x)² − 2 = 16 − 2 = 14।
हल: (x + 1/x)² − 2 = 16 − 2 = 14।
Q12. यदि x + 1/x = 7, तो x³ + 1/x³ = ? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: k³ − 3k = 343 − 21 = 322।
हल: k³ − 3k = 343 − 21 = 322।
Q13. यदि x − 1/x = 7, तो x² + 1/x² = ? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: (x − 1/x)² + 2 = 49 + 2 = 51।
हल: (x − 1/x)² + 2 = 49 + 2 = 51।
Q14. यदि a = 5, b = 4, c = -9, तो a³ + b³ + c³ का मान है: Practice
सही उत्तर: (C)
हल: a + b + c = 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc = 3×5×4×(-9) = -540।
हल: a + b + c = 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc = 3×5×4×(-9) = -540।
Q15. यदि a + b = 12 और ab = 16, तो a² + b² = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: (a + b)² − 2ab = 144 − 32 = 112।
हल: (a + b)² − 2ab = 144 − 32 = 112।
Q16. p(x) = x³ + 5x + 1 को (x + 2) से भाग देने पर शेषफल है: Practice
सही उत्तर: (A)
हल: शेषफल = p(-2) = -17।
हल: शेषफल = p(-2) = -17।
Q17. समीकरण x² − 3x + 2 = 0 के मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः हैं: Practice
सही उत्तर: (B)
हल: योग = −b/a = 3, गुणनफल = c/a = 2 (मूल 1, 2)।
हल: योग = −b/a = 3, गुणनफल = c/a = 2 (मूल 1, 2)।
Q18. यदि 5x + 4y = 21 और 3x − 3y = −9, तो x + y = ? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: हल करने पर x = 1, y = 4 → x + y = 5।
हल: हल करने पर x = 1, y = 4 → x + y = 5।
Q19. यदि x + 1/x = 5, तो x⁴ + 1/x⁴ = ? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: x² + 1/x² = 23; x⁴ + 1/x⁴ = 23² − 2 = 527।
हल: x² + 1/x² = 23; x⁴ + 1/x⁴ = 23² − 2 = 527।
Q20. यदि a + b = 7 और ab = 2, तो a³ + b³ = ? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: (a + b)³ − 3ab(a + b) = 343 − 42 = 301।
हल: (a + b)³ − 3ab(a + b) = 343 − 42 = 301।
Q21. रेखा 3x + 4y = 12 और निर्देशांक अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है? Practice
सही उत्तर: (C)
हल: अंतःखंड: x = 4, y = 3 → क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3 = 6 वर्ग इकाई।
हल: अंतःखंड: x = 4, y = 3 → क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3 = 6 वर्ग इकाई।
Q22. रेखा 2x − 3y + 6 = 0 y-अक्ष को किस बिंदु पर काटती है? Practice
सही उत्तर: (A)
हल: x = 0 रखें: −3y + 6 = 0 → y = 2 → (0, 2)। (−3, 0) x-अंतःखंड है।
हल: x = 0 रखें: −3y + 6 = 0 → y = 2 → (0, 2)। (−3, 0) x-अंतःखंड है।
Q23. रेखा 4x + 2y = 7 की ढाल (slope) क्या है? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: m = −a/b = −4/2 = −2।
हल: m = −a/b = −4/2 = −2।
Q24. k के किस मान के लिए 2x + 3y = 5 और 4x + ky = 7 का कोई हल नहीं होगा (रेखाएँ समांतर)? Practice
सही उत्तर: (B)
हल: समांतर के लिए 2/4 = 3/k → k = 6; और c का अनुपात 5/7 ≠ 1/2, इसलिए कोई हल नहीं।
हल: समांतर के लिए 2/4 = 3/k → k = 6; और c का अनुपात 5/7 ≠ 1/2, इसलिए कोई हल नहीं।
Q25. x + y = 4 और x − y = 2 के ग्राफ किस बिंदु पर काटते हैं? Practice
सही उत्तर: (D)
हल: जोड़ने पर 2x = 6 → x = 3, फिर y = 1 → (3, 1)।
हल: जोड़ने पर 2x = 6 → x = 3, फिर y = 1 → (3, 1)।